4. "Исключающее или"

Операция "исключающего или" задается следующей таблицей истинности, она истинна, когда истинен только один из операндов. Эту операцию еще называют строгой дизъюнкцией или логическим неравенством.

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

5. Импликация

Следующая логическая операция, которую мы рассмотрим — это операция импликации. Импликация ложна тогда и только тогда, когда  — истинна, а  — ложна.

0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	1

6. Эквивалентность

Она истинна только тогда, когда значения  и  совпадают. Эту операцию еще иногда называют логическим равенством.

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

В математических терминах эта операция интерпретируется в качестве фраз "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно". Такая форма тоже очень часто используется в формулировке теорем. Эквивалентность представляется в виде:

7. Штрих Шеффера

Эта операция обозначается знаком / и определяет несовместимость высказываний. Эта операция ложна тогда и только тогда, когда оба операнда истинны. Выражение «А/В» читается так: « и В несовместны». Приведем таблицу истинности этой операции.

Основные определения теории множеств. Примеры.

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие — это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» - это самое широкое понятие математики и математической логики, т.е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т.е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия.

Множество — это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое.

Поясним это понятие с помощью примеров. Можно говорить о множестве людей, живущих сейчас в России, о множестве точек данной геометрической фигуры, множестве решений данного уравнения. Обратите внимание, мы говорим о наборе вполне различимых между собой элементов, невозможно говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Какова же структура множества, чем одно множество отличается от другого, какие математические и логические операции определены для множества?

Прежде всего, каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества.

Факт, что элемент а принадлежит множеству Х мы будем обозначать :аХ.

Порядок элементов в множестве несущественен. Множества {а, в, с} и {а, с, в} одинаковы.

Множество может задаваться:

1.       путем перечисления его элементов. Обычно перечислением задают конечные множества.

2.       путем описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества. Это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием. Таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Если мы задаем множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет. Данный факт может быть совсем не очевиден.

Например:

 множество натуральных чисел, больших 1, таких что, уравнение

имеет решение в ненулевых целых числах. Это множество содержит единственный элемент 2, но есть ли у него еще элементы, никто не знает.

Если характеристическим свойством, задающим множество. А не обладает ни один объект, то говорят, что множество А пустое. Обозначается это так: .

Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством.

Например: множество действительных корней уравнения

пустое.

Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно — множество называется конечным.

Определение: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества.

Определение: Если между элементами бесконечного множества можно установить взаимооднозначное соответствие с элементами множества положительных целых чисел, то говорят, что множество счетно.

Например:

множество действительных чисел, множество частных решений дифференциального уравнения - бесконечные множества.

множество чисел, делящихся без остатка на 3 — счетное множество,

множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы — конечно.

Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. любой элемент множества Х является элементом множества Y, и любой элемент множества Y является элементом множества Х.