2.2.1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении конец предыдущего проводника соединяют с началом последующего проводника.

При последовательном соединении сила тока во всех проводниках одинакова:

 I₁ = I₂ = I₃ = ······ = I   (2.12)

Напряжение U на концах всей цепи равно сумме напряжений на проводниках. Например, для случая трёх проводников: U = U₁ + U₂ + U₃      (2.13)

По закону Ома для участка цепи:

 U₁ = I ·R₁;   U₂ = I · R₂;   U₃ =  I · R₃;     U = I · R    (2.14), где

 R₁, R₂, R₃ – сопротивления проводников.

R – общее сопротивление всего участка цепи.

Из (2.13) и (2.14) следует:

 

I · R = I · (R₁ + R₂ + R₃), откуда R = R₁ + R₂ + R₃         (2.15)

 

Для  n последовательно включённых проводников:

 

R = R₁ + R₂ + R₃ +······+ R_n    (2.16)

Если все они имеют одинаковое сопротивление R₁, то R = n · R₁     (2.17)

При последовательном соединении проводников общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех проводников.

Из соотношения (2.14) следует, что

 

U₁ / U₂ = R₁ / R₂         (2.18)

 

Напряжения на последовательно соединённых проводниках прямо пропорционально их сопротивлениям.

 

2.2.2. Параллельное соединение.

 

При параллельном соединении начала всех проводников соединяют в одной точке, а их концы – в другой.

В этом случае сила тока I в неразветвлённой цепи равна сумме сил токов в параллельно соединённых проводниках:

I = I₁ + I₂ + I₃         (2.19)

Напряжение на концах проводников одинаково:

U₁ = U₂ = U₃ = U   (2.20)

По закону Ома: I₁ = U / R₁;  I₂ = U / R₂;  I₃ = U / R₃;  I = U / R  (2.21)

 R₁, R₂, R₃ - сопротивления проводников, R - общее сопротивление участка цепи. Из (2.20) и (2.21) следует:

U / R = U / R₁ + U / R₂ + U / R₃, откуда:

1 / R = 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃

 

При параллельном соединении величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям всех проводников.

 

Если имеем  n параллельно соединённых проводников, имеющих одинаковое сопротивление R₁, то общее сопротивление цепи:

R = R₁ / n    (2.24)

Из (2.21) следует:  I₁ / I₂ = R₂ / R₁   (2.25)

Силы токов в параллельно соединённых проводниках обратно пропорциональны их сопротивлениям.

 

2.2.3. Смешанное соединение резисторов.

Первый случай:

Второй случай:

Закон Ома для полной цепи, определение которого касается значения электрического тока в реальных цепях, находится в зависимости от источника тока и от сопротивления нагрузки. Этот закон носит и другое название – закон Ома для замкнутых цепей. Принцип действия данного закона заключается в следующем. В качестве самого простого примера, электрическая лампа, являющаяся потребителем электрического тока, совместно с источником тока есть не что иное, как замкнутая электрическая цепь. Данная электрическая цепь наглядно показана на рисунке. Электроток, проходя через лампочку, также проходит и через сам источник тока. Таким образом, во время прохождения по цепи, ток испытает сопротивление не только проводника, но и сопротивление, непосредственно, самого источника тока. В источнике сопротивление создается электролитом, находящимся между пластинами и пограничными слоями пластин и электролита. Отсюда следует, что в замкнутой цепи, ее общее сопротивление будет состоять из суммы сопротивлений лампочки и источника тока. Внешнее и внутреннее сопротивление Сопротивление нагрузки, в данном случае лампочки, соединенной с источником тока, носит название внешнего сопротивления. Непосредственное сопротивление источника тока называется внутренним сопротивлением. Для более наглядного изображения процесса, все значения необходимо условно обозначить. I – сила тока, R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление. Когда по электрической цепи протекает ток, то для того, чтобы поддерживать его, между концами внешней цепи должна присутствовать разность потенциалов, которая имеет значение IхR. Однако, протекание тока наблюдается и во внутренней цепи. Значит, для того, чтобы поддержать электроток во внутренней цепи, также необходима разность потенциалов на концах сопротивления r. Значение этой разности потенциалов равно Iхr. Электродвижущая сила аккумулятора Аккумулятор должен иметь следующее значение электродвижущей силы, способной поддерживать необходимый ток в цепи: Е=IхR+Iхr. Из формулы видно, что электродвижущая сила аккумулятора составляет сумму внешнего и внутреннего напряжения. Значение тока нужно вынести за скобки: Е=I(r+R). Иначе можно представить: I=Е/(r+R). Двумя последними формулами выражается закон Ома для полной цепи, определение которого звучит следующим образом: в замкнутой цепи сила тока прямо пропорциональна электродвижущей силе и обратно пропорциональна сумме сопротивлений этой цепи

Формулировка закона Ома

Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению на концах этого проводника и обратно пропорциональна его сопротивлению: I = U / R; [A = В / Ом]

Ом установил, что сопротивление прямо пропорционально длине проводника и обратно пропорционально площади его поперечного сечения и зависит от вещества проводника. R = ρl / S, где ρ - удельное сопротивление, l - длина проводника, S - площадь поперечного сечения проводника.

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 - I2 + I3 - I4 + I5 = 0

Рис. 1

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

 

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви.

Рис. 2

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2) Е1 - Е2 + Е3 = I1R1 - I2R2 + I3R3 - I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b, следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b - (y - 1) = b - y +1.

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y - 1 = 4 - 1 = 3 уравнения, а по второму b - y + 1 = 6 - 4 + 1 = 3, также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Рис. 3

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений. 

Первый закон Кирхгофа: «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура». 

Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Прохождение электрического тока по проводнику представляет собой процесс упорядоченного движения зарядов в электрическом поле, существующем в проводнике. При этом силы электрического поля, действующие на заряды, совершают работу. Назовем эту работу “работой тока” (Aэл.) и рассчитаем ее на участке цепи 1-2, содержащем сопротивление R (см. рисунок). Из электростатики известно, что Aэл. = q*(1 - 2). В темах 1 и 2 раздела “постоянный ток” показано, что q = I*t;     U = I*R;      U = 1 - 2 где t - время прохождения тока, q - заряд, прошедший от точки с потенциалом 1 до точки с потенциалом2. Следовательно, работу тока можно вычислить с помощью следующего соотношения: Aэл. = I*U*t = I2*R*t = U2*t/R .    (12) Мощностью (Nэл.) называется работа, совершаемая током за единицу времени: Nэл. = Aэл./t . Следовательно, Nэл. = I*U = I2*R = U2/R   .          (13) Мощность электрического тока на опыте определяется с помощью амперметра и вольтметра или специального прибора – ваттметра. Закон Джоуля-Ленца Е сли по активному сопротивлению (проводнику) течет постоянный ток, то работа тока на этом участке идет на преобразование электрической энергии во внутреннюю. Увеличение внутренней энергии проводника приводит к повышению его температуры (проводник нагревается). По закону сохранения энергии количество теплоты (Q), выделяющееся в проводнике при прохождении электрического тока, равно работе тока: Q = Aэл. Следовательно, Q = I*U*t = I2*R*t = U2*t/R .       (14) Формула (14) есть закон Джоуля-Ленца для однородного участка цепи.