Тема 2. Розтяг і стиск.

В практиці інженерних розрахунків на розтяг і стиск використовують наближені моделі, коли оцінка міцності в перерізі стержня проводиться за середніми напруженнями без врахування концентрації напружень, впливу умов закріплення кінців стержня та інших факторів.

Загальні переміщення в стержнях, які впливають на розподіл зусиль, досить точно визначаються середніми напруженнями. Треба зазначити, що тонкі і довгі стержні при дії стискуючих зусиль втрачають стійкість прямолінійної форми рівноваги і отримують додаткові прогини. Будемо вважати, що при напруженнях, які тут розглядаються, втрати стійкості не виникає.

Лекція 2. Деякі методичні аспекти вивчення теми “Розтяг і стиск”. Поздовжня сила або нормальна сила. Напруження у поперечних перерізах. Принцип Сен-Венана. Напруження в похилих перерізах. Поздовжні і поперечні деформації. Закон Гука. Потенціальна енергія деформації. Принцип незалежності дії сил і принцип початкових розмірів.

1. Деякі методичні аспекти вивчення теми “Розтяг і стиск”. Питання, що розглядаються у цій темі, пов’язані з багатьма наступними розділами курсу. Слід звернути увагу на те, що застосування методу перерізів дає змогу знайти тільки величину, напрям і точку прикладання рівнодіючої внутрішніх сил, прикладених до перерізу тіла. Щоб визначити закон розподілу напружень в перерізі, перпендикулярних до осі стержня, використовують результати лабораторних досліджень.

Треба запам’ятати обидві форми запису закону Гука, оскільки цей закон є основою більшої частини курсу опору матеріалів, засвоїти такі питання, як модуль пружності при розтягу, жорсткість поперечного перерізу стержня при розтягу (стиску), не забувати, що закон Гука застосовується тільки до певної межі. У межах використання закону Гука і при малих деформаціях елементів конструкції, якщо немає спеціальних обумовлень, користуються принципом незалежності дії сил (принцип додавання дії сил).

Потрібно звернути увагу на те, що поздовжні деформації стержнів (елементів конструкцій) при осьовому їх розтягу чи стиску обов’язково супроводжуються поперечними деформаціями протилежного знака; що коефіцієнт Пуассона μ (як і модуль пружності Е) залежить від пружних властивостей матеріалу.

Під час експериментального вивчення розтягу треба добре засвоїти визначення механічних характеристик міцності матеріалу: меж пропорційності, пружності, текучості і міцності (тимчасового опору), врахувати, що числові значення їх умовні, оскільки для їх знаходження відповідні сили ділять на початкову площу поперечного перерізу випробуваного зразка. В крихких матеріалах концентрація напружень може призвести до руйнування (чи появи тріщин) при значно менших величинах середніх нормальних напружень ( ). При проектуванні конструкцій треба уникати різких змін площ поперечних перерізів елементів.

Слід добре розібратись у питанні про фактори, які впливають на величину коефіцієнта запасу міцності і, отже, на величину допустимих напружень, уміти записати умову міцності.

Треба добре засвоїти, які конструкції є статично невизначувані, і знати, що ступінь статичної невизначуваності показує, наскільки кількість невідомих (реакцій зв’язків) перевищує кількість рівнянь рівноваги для прикладеної до тіла системи сил і скільки додаткових рівнянь (рівнянь переміщень) потрібно і можливо скласти на основі розгляду сумісності деформацій елементів конструкцій (сумісність деформацій виражається в тому, що не відбувається розриву стержнів чи роз’єднання їх, якщо до дії сил вони були зв’язані між собою).

2. Поздовжня сила або нормальна сила. У даній лекції будемо розглядати розрахунковий випадок, коли при навантаженні бруса в його поперечному перерізі із шести можливих зуси ль (внутрішніх силових факторів) відрізняється від нуля одне – поздовжня сила N. Цей тип навантаження називають розтягом або стиском. Найпростіші випадки такого навантаження осьовою силою P показані на рис 2.1 і рис 2.2.

При дії розтягуючої сили (рис 2.1) довжина стержня може бути довільною. Дія стискуючої сили на стержень великої довжини і порівняно невеликого перерізу (рис 2.2) може викликати явище поздовжнього згину (l>(4-5)d). Рис. 2.1 Рис. 2.2

Для визначення внутрішніх сил, що виникають при розтягу або стиску стержня, використовується метод перерізів. Тоді поздовжня (нормальна) сила дорівнює сумі проекцій на поздовжню вісь перерізу стержня сил, які діють по один бік від перерізу стержня. Сили розтягуючі, напрямлені від перерізу, вважаються додатними, а стискуючі, напрямлені до перерізу, - від’ємними.

Для наочного зображення розподілу поздовжніх сил будують їх епюри, тобто графіки, на яких величина обчислених поздовжніх сил відкладається в якомусь масштабі у вигляді відрізків, перпендикулярних до осі стержня.

3. Напруження у поперечних перерізах. Принцип Сен-Венана. Поздовжня сила N у поперечному перерізі стержня являє собою рівнодіючу нормальних напружень , що виникають у ньому при розтягу (стиску).

,

де A - площа поперечного перерізу стержня; dA - елементарна поздовжня сила на безмежно малій площині dA перерізу.

Який розподіл напружень дійсно має місце при розтягу або стиску стержня, можна визначити лише на основі експериментального вивчення. Виявляється, що поперечні перерізи стержня, плоскі перед прикладанням навантаження, залишаються плоскими також після нього ( гіпотеза плоских перерізів Бернуллі).

Тоді робимо висновок, що нормальні напруження  розподіляються рівномірно на площі поперечного перерізу стержня: , і звідси . Такий розрахунковий випадок називають простим розтягом (стиском).

Треба зазначити, що простий розтяг або стиск має місце лише у перерізах, досить віддалених від місць прикладання навантаження.

Однак як теоретичні дослідження, так і експериментальна перевірка показали, що нерівномірність розподілу напружень дуже швидко затухає в міру віддалення перерізу від кінців стержня і напруження вирівнюються (принцип Сен-Венана).

Отже, принцип Сен-Венана можна виразити так: у поперечних перерізах стержня, досить віддалених від точок прикладання навантаження, розподіл напружень практично не залежить від детального способу його прикладання. За характерну відстань перерізу від місць прикладання навантаження можна вважати віддаль порядку поперечного розрізу стержня.

Принцип Сен-Венана має загальне значення і використовується не лише для визначення напружень при осьовій дії сил, а також і в інших випадках навантаження стержня (балки).

Принцип Сен-Венана не доведений у загальному випадку, але у всіх отриманих точних розв’язках він підтверджується. Принципи, які справедливі для широкого класу задач, але не доведені в загальному вигляді, називають евристичними. Принцип Сен-Венана належить до числа евристичних.

Принцип Сен-Венана не вказує конкретно ту відстань, після якої не виявляється різниці в розподілені зовнішнього навантаження. Незважаючи на деяку невизначеність в кількісному відношенні, фізична сутність принципу Сен-Венана суттєва для інженерного аналізу конструкцій.

Принцип Сен-Венана поширюється на статично еквівалентні системи зовнішніх навантажень, які прикладаються на малих ділянках поверхні тіла.

4. Напруження в похилих перерізах. Для визначення напружень у будь-якому похилому перерізі, що визначається кутом  (рис 2.3) між віссю бруса x і зовнішньою нормаллю n до перерізу, використаємо метод перерізів. Відкинувши верхню частину бруса, з рівняння проекцій на нормальну вісь n, одержимо вираз для нормального напруження _ у похилому перерізі

, (1)

д

Рис. 2.3

е – нормальне напруження у поперечному перерізі.

Для визначення дотичного напруження _, яке діє в похиленому перерізі, складаємо рівняння проекцій на напрямок _, тоді матимемо:

, (2)

_ і _ вважаються додатними (рис. 2.3).

Для =0 _=₁=_max і _=0;

для =90 _=₁=_min і _=0.

Отже, в перерізах, перпендикулярних до осі стержня і паралельних осі (рис. 2.3), немає дотичних напружень, а нормальні напруження набувають екстремальних значень. Площини, на яких немає дотичних напружень, називаються головними площинами, а нормальні напруження, що на них виникають, - головними напруженнями.

Можна сказати, що при розтягу або стиску матеріал стержня знаходиться в лінійному напруженому стані. У перерізі, що утворює з віссю стержня кут =45, виникає максимальне дотичне напруження, яке дорівнює

.

В подальшому, можна буде знайти зв’язок між дотичними напруженнями на двох взаємноперпендикулярних площинах, коли будемо розглядати плоский напружений стан.

5. Поздовжні і поперечні деформації. Закон Гука. Із досліду відомо, що під дією зовнішніх сил елементи конструкцій змінюють свої початкові розміри і форму (подовження болта, прогин труб, балок та інше). В більшості випадків зміни розмірів і форми після прикладання навантаження малі, але в деяких випадках деформації можуть порушувати процес нормальної експлуатації машин чи споруди.

Уміння визначати деформації, установлювати їх допустимі значення має важливе значення при проектуванні і розрахунках конструкцій.

Під дією сили Р (рис 2.1) брус подовжується на деяку величину l, яка називається повним або абсолютним подовженням.

Лінійну деформацію  можна визначити як відношення величини l до початкової довжини стержня l:

. (3)

Відносне подовження (укорочення) залежить від властивостей матеріалу

, (4)

де N – поздовжня сила; A - площа поперечного перерізу бруса; E - коефіцієнт, який залежить від фізичних властивостей матеріалу.

Враховуючи, що нормальне напруження у поперечному перерізі бруса , отримаємо

(5)

або: . (6)

Залежності (5) і (6) виражають закон Гука, який можна записати так:

(7)

тобто до певної величини сили деформації пружного тіла пропорційні силі.

З урахуванням температури закон Гука набирає такого вигляду:

,

або

,

де α-коефіцієнт температурного розширення;

t-різниця температур.

Величина E називається модулем пружності при розтягу-стиску.

В межах дії закону Гука зв’язок між відносною поперечною і відносною поздовжньою деформаціями виражається формулою

, (8)

де  - коефіцієнт поперечної деформації – коефіцієнт Пуассона, який набуває значень: 0    0,5. Треба зазначити, що від’ємне значення коефіцієнта Пуассона μ, тобто збільшення поперечних розмірів при розтягу, може відбуватися, якщо процес деформування супроводжується оборотними фізико-хімічними змінами.

6. Потенціальна енергія деформації. Потенціальною енергією деформації називається енергія, накоплена у тілі при виникненні в ньому пружних деформацій. Обчислимо потенціальну енергію деформації прямого стержня з довжиною l (рис 2.1), що розтягнутий осьовою силою P. Потенціальна енергія кількісно дорівнює роботі зовнішніх сил (U=A ).

При статичному навантаженні, коли сили зростають від нуля до свого кінцевого значення P, робота зовнішніх сил, а, отже, і потенціальна енергія визначається формулою ,

де коефіцієнт 0,5 враховує поступове зростання навантаження від нуля до кінцевого значення P. Враховуючи, що P=N, одержимо . Вираз для питомої потенціальної енергії деформації одержимо так:

(9)

Як видно із формули (9), розмірність питомої потенціальної енергії така сама, як і напруження.

7. Принцип незалежності дії сил і принцип початкових розмірів. Коли деформації в пружній системі малі і лінійно зв’язані з силами, до системи можна застосувати принцип незалежності дії сил (принцип додавання дії сил або принцип суперпозиції).

За цим принципом результат (внутрішні сили, напруження, переміщення, деформації) дії системи сил, прикладених до елемента конструкції, не залежить від послідовності їх прикладання і дорівнює сумі результатів дії кожної сили окремо. Наприклад, коли на окремих ділянках стержня виникають поздовжні сили N₁, N₂, … N_n, а жорсткості ділянок дорівнюють відповідно c₁, c₂, … c_n, тоді сумарне подовження стержня дорівнюватиме

.

В окремому випадку, коли N=const, одержимо

(10)

Тут c – сумарна жорсткість системи, що зв’язана з жорсткостями її окремих елементів залежністю

(11)

Залежність (11) аналогічна залежності між опорами паралельного розгалуження електричних провідників, що використовується для електричного моделювання пружних систем.

Іншим дуже важливим принципом, який широко використовується при розрахунках пружних систем, є принцип початкових розмірів. Згідно з цим принципом при складанні рівнянь рівноваги для деформованих систем вони розглядаються як недеформовані. Цей принцип можна застосувати тоді, коли переміщення у системі настільки малі, що вони практично не впливають на взаємне розташування прикладених до системи сил. Коли ж переміщення системи великі, принцип початкових розмірів втрачає силу. У таких випадках з’являється також нелінійна залежність між силами і переміщеннями, і тому втрачає силу і розглянутий принцип незалежності дії сил.

У курсі "Опір матеріалів" розглядаються лише такі системи, до яких принцип початкових розмірів можна застосувати.

Лекція 3. Діаграма напружень при розтягу. Допустиме напруження і коефіцієнт запасу міцності. Розрахункова формула розтягу-стиску і її застосування. Повзучість і релаксація.

У відповідності до вибраної моделі матеріалу (модель суцільного середовища) ми відмовляємось від вивчення внутрішньої мікроструктури матеріалу і будемо використовувати феноменологічний підхід. Зазначимо, що феноменологічний підхід зумовлює необхідність експериментального вивчення механічних властивостей матеріалів. Ці властивості вивчаються в процесі дослідів із зразками матеріалів простої форми при відтворенні особливостей навантаження.

1. Діаграма напружень при розтягу. При проектуванні й розрахунках на міцність елементів конструкцій треба знати властивості матеріалів. Тому матеріали випробовують на розтягання, стискання та інші навантаження. Для визначення механічних характеристик матеріалів проводяться лабораторні випробування на спеціальних зразках. Найчастіше ці зразки мають або циліндричну форму (круглий зразок), або форму штаби (плоский зразок). Для стандартних "довгих" зразків має бути L=10d, для "коротких" зразків L=5d.

Г

Рис.2.4

рафік залежності між розтягуючою силою P і подовженням зразка l називається діаграмою розтягу зразка. Із діаграми розтягу за допомогою обробки її одержують так звану діаграму напружень (рис.2.4), не зв'язану вже з розмірами зразка. Діаграма напружень (рис.2.4) має відповідні координати ,.

Характерними точками типової для м'якої сталі діаграми напружень є точки, ординати яких дають механічні характеристики матеріалу: границю пропорційності _п, границю пружності _y, границю текучості _т, границю міцності або (тимчасовий опір) _в і розривне напруження _р. Границя пропорційності - це напруження, вище якого закон Гука вже не використовується; її величина

,

де Р_П - сила, до якої зберігається лінійна залежність між зусиллям та деформацією.

Ділянка діаграми напружень, яка знаходиться нижче від цієї границі, прямолінійна, що є виразом закону Гука; тангенс кута нахилу цієї ділянки до горизонту є модуль пружності: .

Границя пружності - це напруження, при якому відносні залишкові деформації ще дуже малі і характеризуються допусками, що встановлюються технічними умовами (ГОСТ), наприклад: 0,001; 0,003; 0,005 %.

Границя текучості - це напруження, коли деформації зростають при майже сталій силі, що діє на зразок. Величина її

,

де Р_т – сила, при якій метал "тече"; А - площа недеформованого зразка.

Границя міцності (тимчасовий опір) являє собою напруження, що відповідає максимальній силі (втраті форми поперечного перерізу зразка); величина .

У цей час у випробовуваному зразку утворюється місцеве звуження, що називається шийкою; поява шийки свідчить про початок руйнування зразка.

Розривне напруження - це напруження у зразку в момент розриву.

Перелічені вище механічні характеристики - величини умовні, оскільки при визначенні їх не враховується зміна площі перерізу зразка в процесі випробування. Зміна перерізу в межах закону Гука досить мала і починає помітно зростати з початком текучості, а особливо при появі шийки. Однак, хоч описана діаграма напружень і є умовною (істинна діаграма зображена пунктирною лінією на (рис.2.4), вона придатна для зіставлення властивостей різних матеріалів, а тому й використовується звичайно при всіх випробуваннях.

Найбільше напруження у діаграмі буде в момент розриву зразка (для м'якої вуглецевої сталі воно майже в два рази вище за границю міцності).

Перелічені механічні характеристики є характеристиками міцності матеріалу. Крім характеристик міцності, велике значення мають також механічні характеристики пластичності матеріалу: відносне залишкове подовження при розриві  і відносне звуження перерізу в місці розриву  .

Відносне залишкове подовження при розриві визначається в процентах за формулою

,

де ₁ - довжина розрахункової частини зразка після розриву; - довжина розрахункової частини до випробування.

Відносне звуження перерізу в місці розриву (в місці шийки), в процентах, визначається за формулою

,

де А₁ - площа перерізу зразка в місці шийки; А - початкова площа перерізу.

Чим вищі значення характеристик  і , тим матеріал пластичніший (для Ст3:=(21-23)%; 70%).

2. Допустимі напруження і коефіцієнт запасу міцності. Допустимі напруження [] становлять деяку частину від небезпечних (граничних) напружень. Для пластичних матеріалів такими небезпечними (граничними) напруженнями є границя текучості _т, при якій швидко зростають деформації і перешкоджають нормальній експлуатації конструкції.

Для крихких матеріалів небезпечним напруженням є границя міцності _в, при якій настає руйнування матеріалу. Отже, для допустимого напруження маємо

, (1)

де ₀= _т - для пластичних матеріалів і ₀ =_в - для крихких; n=n_т - коефіцієнт запасу відносно границі текучості, який береться в межах від 1,2 до 2,5; К_в - коефіцієнт запасу відносно границі міцності, для крихких матеріалів К_в=35 (а іноді й вище, наприклад, для каменів природних і штучних він може бути в межах 10-30).

Величина коефіцієнта запасу n залежить від багатьох факторів: від умов зведення і експлуатації конструкції, строку служби споруди, виду зусиль, характеру навантажень. Цей коефіцієнт враховує неминуче коливання якості матеріалу, не взяті до уваги навантаження, наближеність розрахунку. Коефіцієнт запасу n є основним і враховує лише загальні фактори і лише при статичному навантаженні. Врахування ж динамічності навантаження і різних додаткових факторів (концентрація напружень, змінність дії навантажень та ін.) здійснюється введенням додаткових коефіцієнтів, на які перемножується основний.

З поліпшенням якості матеріалів і уточненням теорії розрахунку значення допустимих напружень підвищуються.

Слід зазначити, що на механічні характеристики матеріалу великий вплив має температура. При підвищенні температури до 200^○С механічні характеристики маловуглецевих сталей не змінюються порівняно з характеристиками, одержаними при нормальній температурі. При температурі 300-400^○С границя міцності (тимчасовий опір) цих сталей дещо підвищується, але починається так звана “повзучість” матеріалу, яка особливо помітна при температурі 400-600^○С. При низьких температурах границі текучості і міцності підвищуються, але сталь стає крихкішою і чутливішою до дії динамічних навантажень.

Під дією нейтронного опромінення різко підвищується границя текучості і тимчасовий опір пластичних металів при одночасному зменшенні їх пластичності. Модуль пружності також дещо підвищується.

3. Розрахункова формула розтягу-стиску і її застосування. Знаючи допустиме напруження, розрахункову формулу для розтягу (стиску) можна записати так:

, (2)

де [] - допустиме напруження, яке задане технічними нормами; N - нормальна сила в небезпечному перерізі; A - площа перерізу.

4. Основні типи інженерних задач при розрахунку на міцність розтягнутих (стиснутих) стержнів. Формула (2) дає можливість розв'язати такі інженерні задачі:

1. Підбір перерізу елемента конструкції при відомих силах, що діють на цей елемент (проектувальний розрахунок).

2. Перевірка напружень в існуючому елементі конструкції (перевірка міцності бруса або стержня).

3. Визначення допустимого навантаження на існуючий елемент конструкції за допустимим напруженням.

При підборі перерізу визначається необхідна площа його за формулою

, (3)

після чого можна встановити й розміри перерізу. Якщо переріз дано в формі круга, то прирівнюємо необхідну площу до площі круга , визначаємо необхідний діаметр бруса.

Якщо переріз дано у формі прямокутника з площею A=bh (найчастіше ), то визначаємо розміри h і b.

Для кільцевого перерізу при відношенні діаметрів дістаємо .

Звідси (прирівнявши A до необхідної площі) знайдемо зовнішній діаметр D, а потім внутрішній . Для прокатних профілів (кутники, швелери, двотаври) при розрахунку використовуються таблиці сортаменту, де є дані про площі перерізу цих профілів.

Друга задача передбачає наявність бруса, розміри і навантаження якого відомі; потрібно за формулою (2) визначити діюче в ньому напруження і порівняти його з величиною []. При цьому відхилення діючого напруження від допустимого оцінюється в процентах.

Третя задача полягає у визначенні для бруса відомих розмірів допустимого зусилля за формулою

.

Тут викладені основи розрахунку міцності в елементі конструкції методом допустимих напружень.