Глава 4. Численное дифференцирование и интегрирование

4.1. Численное дифференцирование

Такая задача часто возникает, когда исходная функция f(x) задана таблично, то есть своими значениями в некоторых точках. Тогда наиболее простым способом расчёта производных этой функции заключается в её интерполировании полиномом соответствующей степени, и вычисления производных от этого полинома. То есть f(x) аппроксимируется полиномом L_n(x), и полагают f ’(x)  L_n’(x), f “(x)  L_n”(x) и т.д.

Получим простейшие формулы приближенного дифференцирования. Чтобы получить формулы для первой производной построим полином первой степени в форме Лагранжа по двум значениям функции y₀, y₁:

L₁(x)=((x-x₁)/(x₀-x₁))*y₀+((x-x₀)/(x₁-x₀))*y₀.

Тогда на всем интервале интерполирования x[ x₀, x₁]

f ’(x)  L_n’(x) = y₀/(x₀-x₁)+y₁/(x₁-x₀)=(y₁-y₀)/(x₁-x₀).

Если обозначить h=x₁-x₀, то f ’(x)  =(y₁-y₀)/h. Это отношение называют разностным отношением или разностной производной первого порядка. Чаще всего его используют для вычисления производной в узле. По отношению к узлу x₀ это будет производная справа, а по отношению к узлу x₁ – слева. Таким образом, для точки x₁ f ’(x₁)(y₁-y₀)/h - называется левой разностной производной, а f ’(x₁)(y₂-y₁)/h - правой разностной производной (с учетом, что h=x₂-x₁).

Среднее арифметическое левой и правой разностных производных определяет среднюю или центральную производную первого порядка:

f ’(x₁)0.5((y₁-y₀)/h+(y₂-y₁)/h)=(y₂-y₀)/2h.

Для того чтобы найти выражение для разностной производной второго порядка, требуется аппроксимация заданной функции полиномом как минимум 2-ого порядка:

L₂(x)=y₀(x-x₁)(x-x₂)/((x₀-x₁)(x₀-x₂))+y₁(x-x₀)(x-x₂)/((x₁-x₀)(x₁-x₂))+

+y₂(x-x₀)(x-x₂)/((x₂-x₀)(x₂-x₁)).

Вторая производная от этого полинома имеет вид

L₂”(x)=2y₀/((x₀-x₁)(x₀-x₂))+2y₁/((x₁-x₀)(x₁-x₂))+2y₂/((x₂-x₀)(x₂-x₁))=

=(y₀-2y₁+y₂)/h².

Последнее выражение используется как разностная производная заданной функции в точке x₁. Оно представляет собой симметричное разностное отношение для случая равноотстоящих узлов:

f ’’(x₁)  (y₀-2y₁+y₂)/h².

Для произвольного i-го узла полученные формулы записываются следующим образом:

f ’(x_i) (y_i-y_i-1)/h, (1)

f ’(x_i) (y_i+1-y_i)/h, (2)

f ’(x_i) (y_i+1-y_i-1)/2h, (3)

f ’’(x_i)  (y_i-1-2y_i+y_i+1)/h². (4)

4.2. Оценки погрешности формул численного дифференцирования

Рассмотрим разложение заданной функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности произвольного узла x_i:

f(x_i+1)=f(x_i+h)=f(x_i)+hf’(x_i)+h²/2!f”(x_i)+h³/3!f’’’(x_i)+h⁴/4!f’’’’(x_i), (5)

f(x_i-1)=f(x_i-h)=f(x_i)-hf’(x_i)+h²/2!f”(x_i)-h³/3!f’’’(x_i)+h⁴/4!f’’’’(x_i). (6)

Учитывая, что y_if(x_i) выразим из разложения (6) разностное отношение слева от точки x_i:

(y_i-y_i-1)/h = f’(x_i)- h/2!f”(x_i) + О(h²).

Это означает, что левая разностная производная аппроксимирует первую производную f  в точке x_i с первым порядком точности по шагу h.

Аналогично, выражая из разложения (5) разностное отношение справа от точки x_i, получим:

(y_i+1-y_i)/h = f’(x_i)+ h/2!f”(x_i) + О(h²).

Вычитая разложение (6) из (5)получим

(y_i+1-y_i-1)/2h=f’(x_i)+ h²/6f”(x_i) + О(h³),

т.е. среднее разностное отношение аппрксимирует первую производную f’(x_i) со вторым порядком точности по шагу h.

Сложим теперь оба разложения (5) и (6) и из этой суммы выразим разностное отношение второго порядка:

(y_i+1-2y_i+y_i+1)/h² = f ”(x_i)+ h²/12f ””(x_i)+О(h³),

т.е. разностное отношение второго порядка аппроксимирует вторую производную со вторым порядком точности по шагу h.