31.Роскладання в ряди Макларена

32.Найближче обчислення інтегралів за допомогою рядів

Можливість розвинення функції у степеневий ряд дозволяє спростити багато математичних операцій: обчислення наближених значень даної функції, диференціювання, інтегрування, оскільки степеневий ряд можна замінити многочленом ( з урахуванням того, що оцінка залишку ряду не перевищує заданого значення похибки). Зокрема, можна наближено обчислювати інтеграли, що не «беруться», знаходити наближені рішення диференціальних рівнянь тощо.

33. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

Нехай потрібно розв’язати диф. рівняння y' = f(x,y) при заданих початкових умовах y(x₀)=y₀

Припустимо, що у(х) є розв’язком даного диф. рівняння при вказаних початкових умовах. Шуканий розв’язок у(х) розкладається в ряд Тейлора в околі точки х=х_0.

у(х)= у(х₀)+ (x- х₀) + (x- х₀)²+ (x- х₀)³+….+ (x- х₀)ⁿ+…

можна знайти підставивши початкові умови в диф. рівняння.

можна отримати, якщо попередньо продих. обидві частини рівняння, а потім підставивши уже відомі значення x₀, y(x₀), . Поступаючи аналогічно, тобто послідовно диф. обидві частини заданого рівняння по змінній х можна послідовно знайти у'''(х₀), у'^v(х₀)

34. Обчислення значених функцій за допомогою степеневих рядів.

Використовуючи розвинення деяких елементарних ф-цій в ряди можна знайти розвинення в степеневий ряд любої ф-ції на заданому проміжку. Це дозволяє обійти процес многократного диф. ф-цій.

35. Елементи комбінаторики. Перестановки. Розміщення і сполуки з n елементів по m.

При рішенні задач з т.й. , а також при складанні розкладу занять, розкладу руху автобусів, потягів, літаків і т.д. застосовують елементи комбінаторики. До них відносяться : перестановки, розміщення, сполучення.

Перестановками наз. групи з n елементів по n в кожній, які відрізняються порядком розташування елементів, а їх число визначається за формулою Pn=n!

Розміщеннями наз. групи з n елементів по m в кожній, які відрізняються хоч-би одним елементом або порядком розташування елементів, а їх число .

Сполученнями наз. групи із n елементів по m в кожній, які відрізняються хоч-би одним елементом, а їх число визначається за формулою .

36.Випадкові події. Операції над подіями.

Одним із основних понять т.й. є випадок. Випадок ніде не відіграє такої важливої ролі як в азартних іграх, на рибалці, при стрільбі. Це масові випадкові події, операції над ними, ймовірності цих подій, випадкові величини і їх числові характеристики, закони розподілу випадкових величин тощо. Випадковою подією наз. будь-яке явище, яке в заданих умовах може відбутися , а може не відбутися.

Види випадкових подій:

1.елементарними наз. події, якщо з них за допомогою алгебри випадкових подій можна утворити довільні події;

2.несумісними наз. дві події, якщо поява однієї із них виключає появу іншої в одному і тому ж 3.експерименті. В противному разі події наз. сумісними.

4.достовірною наз. подія , якщо вона відбудеться обов’язково в умовах даного експерименту;

5.неможливою наз. подія, яка не може відбутися в умовах даного експерименту;

6.протилежними наз. дві події, одна з яких обов’язково наступить, але поява однієї з них виключає появу іншої;

7.рівно можливими наз. події А1, А2, А3….Аn, якщо умови випробування забезпечують однакову можливість здійснення кожної із них.

Операції над подіями:

Сумою скінченого числа подій наз. нову подію, яка полягає в тому, що відбудеться принаймні одна із них. Зокрема А+В=С; С= ( або А або В або АВ)

Під сумою двох подій розуміємо подію С, яка полягає в тому , що наступить хоч-би одна із них..( або А або В або АВ)

Добутком скінченого числа подій наз. нову подію, яка полягає а тому , що вони відбудуться всі. Зокрема А*В=С; С= ( і А і В)

Під добутком двох подій А і В розуміємо подію С, яка полягає в одночасній появі події А і В.