Тавтологические импликации

1. = A⋀(A B) B

2. = ∼B⋀(A B) ∼A

3. = ∼A⋀(A⋁B) B

4. = A (B A⋀B)

5. = A⋀B A

6. = A A⋁B

7. = (A B)⋀(B C) (A C)

8. = (A⋀B) C (A (B C)

9. = (A (B C) (A⋀B) C

10. = (A B⋀∼B) ∼A

11. = (A B) (A⋁C) (B⋁C)

12. = (A B) (A⋀C) (B⋀C)

13. = (A B) ((B C) (A C))

14. = (A B)⋀(B C) (A C)

Тавтологические эквиваленции

15. = A A

16. = ∼∼A A

17. = (A B) (B A)

18. = (A B)⋀(C B) (A C B)

19. = (A B)⋀(A C) (A B)⋀C)

20. = (A B) (∼B ∼A)

21. = A⋁B B⋀A

22. = (A⋁B)⋁C A⋁(B⋁C)

23. = A⋁(B⋀C) (A⋁B)⋀(A⋁C)

24. = A⋁A A

25. = ∼(A⋁B) ∼A⋀∼B

26. = A⋀B B⋀A

27. = (A⋀B)⋀C A⋀(B⋀C)

28. = A⋀(B⋁C) (A⋀B)⋁(A⋀C)

29. = A⋀A A

30. = ∼(A⋀B) ∼A⋁∼B

Теорема

1. = A Bтогда и только тогда, когда Aэкв.B

2. е сли =A и =A B, то =B

Համարժեքությաններ կապերի վերացման համար

(Тавтологии для исключения связок)

2 6.=(A B) ∼A ⋁B

2 7.=(A B) ∼(A⋀∼B)

2 8.=(A⋁B) ∼A B

2 9.=(A⋁B) ∼(∼A⋀∼B)

3 0.=(A⋀B) ∼(A ∼B)

3 1.=(A⋀B) ∼(∼A⋁∼B)

3 2.=(A B) (A B) ⋀(B A)

Արտահայտությունների հաշվարկը:

Տրամաբանականհետևանք:

Տրամաբանությանխնդիրն է տալդատողությանսկզբմունքները (принципырассуждения), այսինքնեզրակացությանտեսությունը(теориявывода): Պրակնիկորենդաբերումէկրիտերիաներիստացմանը, որոնցմիջոցովհնարավորլինիմեխանիկորենլուծելայնհարցը, թեկարելիէարդյոքդատողություններիորևշղթանհամարելճշմարիտ: Դատողությունների շղթան (цeп рассуждения) իրենիցներկայացնումէպարզապեսարտահայտություններինվերջավորհաջորդականություն, որըբերումէհիմնավորելուայնհաստատումը (утверждение), որվերջինարըահայտությունը (высказывание)այդհաջորդականությանմեջ (եզրակացություն-заключение)կարելիէդուրսբերելորևէսկզբնավարտահայտություն-ներից (посылок):

Սովորոկան պայմաններում посылки вывода сгибаются истинными:

В ысказывание B есть логическое следствие высказываний A₁, A₂ …A_n,որը սիմվոլիկորեն գրվում էA₁, A₂ …A_n = B:

Դիտենք հետևյալ աղյուսակը`

P Q R	Q ⋀ P ∼ R	∼ Q	P R	P ⋁ Q R	∼ (P ⋀ Q)
Ճ Ճ Ճ	Կ	Կ	Ճ	Ճ	Կ
Ճ Ճ Կ	Ճ	Կ	Կ	Կ	Կ
Ճ Կ Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ
Ճ Կ Կ	Ճ	Ճ	Կ	Կ	Ճ
Կ Ճ Ճ	Ճ	Կ	Ճ	Ճ	Ճ
Կ Ճ Կ	Ճ	Կ	Ճ	Կ	Ճ
Կ Կ Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ
Կ Կ Կ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ

Դիտելովաղյուսակըկստանանքհետևյալ 3 արտահայտություններըվերևումնշվածлогическое следствия–իհամար `

P , R, Q⋀ P ∼R =∼Q (3–րդտողը)

P , PR, R =P⋁ Q R (1 և3-րդտողերը)

Q ⋀P ∼R, ∼Q, P R =∼ (P⋀ Q) (3, 7,8տողերը):

Թ եորեմա 1. A = Bтогда и только тогда, когда = A B

Թ եորեմա 2. A₁, A₂ … A_n = Bтогда и только тогда, когдаA₁⋀A₂ ⋀… ⋀A_n = B или тогда и только тогда, когда =A₁⋀A₂ ⋀… ⋀A_n B (n≥ 2)

Պրեդիկատների հաշվարկը (исчисление предикатов):

Սովորականլեզվի նկարագրությունը սիմվոլներով(символизация обычного языка):

Ինչպես գիտենք արտահայտությունների հաշվրկումը սայմանափակվում է մախա-դասության կառուցվացքով (структурой), նախադասության-կամպոնենտ տերմիններով: Այստեղ եղրակացության տեսությունը (теория вывода), անբավարար է և մաթեմաթիկայի և սովոական դատողությունների համար:

Տրամաբանական եզրակացությունը պահանջում է իրականացնել նախադասությունների կառույցի մեկնաբանությունը (анализ)субъект և предикат(ենթակա-ստորոգյալ) կապի իմաստավորմամբ, որը ինչպես հայտնի է իրականացվում է լեզվի քերականության մեջ:

Այլ կերպ ասծ, արտահայտությունների հաշվարկը(исчисление высказывания) չի բաժանում նախադասությունը «նուրբ» (тонкие) բաղադրիչների, որով կապահովեր բազմաթիվ նպատակների բացատրությունը:

Այպիով` արտահայտությունների հաշվարկման տեսությունը ավելացնելով 3 տրա-մաբանական հասկացողությունները` теория предикат և квант-ը կարող ենք սովորական մաթեմատիկական լեզվում սիմվոլացնել (символизировать) շատ բաներ, որոնք ապահովում են մտահաղացումների նեկնաբանումը (анализ рассуждения):

Դատողության էլեմենտներ (элементы суждения):

Դատողությունը բաղկացած է 4 էլեմենտներից` квантор, субъект, связка, предикат: Այդ դատողությունների ձևերն են`

ВсеS являютсяP

Никакой из Sне являетсяP

Некоторые из Sявляются P

Некоторые изS не являютсяP

Այստեղ` Sобозначает класс субъектов, P-класс предикатов. «Все» или «Никакой из», «Некоторые из» называются универсальными кванторами, или кванторами общности.

Պրեդիկատներ (предикаты):

Պրեդիկատների տրմաբանությունը իրենից ներկայացնում է արտահայտությունների հանրահաշիվը (алгебры высказывания): Նա իր մեջ պարունակում է արտահայտությունների հանրահաշիվը ամբողջությամբ վեևցված, այսինքն`

1. նրա մասը կազմող էլեմենտար արտահայտությունները (элементарные высказывания), որոնք ընդունում են 2 արժեք И և Л(իրական և կեղծ);

2. բոլոր գործողությունները АВ-ի(все операцииАВ)և

3. Հետևաբար նրա (АВ-ի) բոլոր ֆորմուլաները:

Բայց դրանից պրեդիկատների լոգիկան դիտում է նաև այնպիսի դատողություններ, որոնք վերաբերվում են առարկաներին: Այստեղ արտահայտությունները տարաբաշխվում են սուբեկտիև պրեդիկատի միջև:

Ենթադրենք 𝔐-առարկաների որև բազմություն է և a, b, c, d-ն ներկայացնում են այդ բազմության որոշակի առարկաներ, ապա արտահայտությունները այդ առարկաների մասին կնշանակենք հետևյալտեսքով` P(a),Q(b),R(c, d) և այլն:P(a)-ն նշանակումարտահայտությունaառարկայի մասին և այլմ: Ենթադրենք 𝔐-ն իրենից ներկայացնում է բնական թվերիշարքը, իսկa, b, c, d-ն համապատասխանաբար 5, 8, 3, 1 թվերն են: Այստեղից բխում է, որP(a)-նօրինակիհամարկարող է լինել արտահայտություն «5-ը հասարակ թիվ է», Q(b)-«8–ը կենտթիվ է», R(c, d)-«երեքըմեծ է մեկից»: Այդպիսիարտահայտությունները կարող է լինել և իրական (И)և կեղծ(Л): Այս պարագայում մենք И և Л կվերագրենք որոշակի առարկաների կամ առարկաների խմբերը: Այսպես օրինակ վերևումնշանակումP(a)-ններկայացնում է իրական(И) արժեք«5 հասարակ թվի»նկատմամբ:Q(b)-ն Л, որը ի համապատասխան է վերցրած 8-ի նկատմամբ («8–ը կենտ թիվ է»): Ենթադրենք S(x,y)նշանակում է «x-ը փոքր է y-ից»: Այս արտահայտությունը դառնում է որոշակի, եթե x-ըևy-ըփոխարինենք թվերով «1-ը փոքր է3-ից», «5-ը փոքր է2-ից»: Այսպիսովեթե F(x)-ը իրենիցներկայացնում է ֆունկցիա որոշված 𝔐 բազմության մեջ И և Л արժեքներով , ապա նութն ձևով անորոշ (неопределенные) արտահայտությունները 2 և ավել առարկաներիհամարH(x,y), G(x, y, z) և այլններկայացնում են ֆունկցիաներ 2 և ավելի փոփոխականների համար: Այդ անորոշ արտահայտությունները, կամ ֆունկցիանները մեկ կամ մի ֆանի փոփոխականերից կախված անվանվում են логические функции или предикаты: Մեկ փոփոխականով պրեդիկատով կարելի է արտահայտել առարկայի հատկությունը ` օրինակ («x-ը հասարակ թիվ է», «x-ը ուղղանկյուն եռանկյուն է») և այլն: Պրեդիկատ հասկացողությունը Արիստոտելի դասական տրամաբանությունումհամապատասխանում է մեկ փոփոխականով պրեդիկատի:Ուրիշ օրինակներ` պրեդիկատL(x, y) կարող է անվանվել «x-ը y-ի հայրն է»; M(x, y)-«x-ըև y-ը եղբայրներ են», այսպիսով մի քանի փոփոխականներից կազմված պրեդիկատները ընդունակ են արտահայտել հարաբերությունները առարկաների կամ սուբեկտների միջև:

Կամավորն𝔐բազմությունում x, y, z,u, v, x₁, x₂, … անվանվում են առարկայական փոփոխականներ, իսկ a, b, c, a₁, a₂, … անվանվում են առանձին առարկաներ կամ առարկայական հաստաաուններ:

Մեծատառլատինականտառերը` A, B, X, A₁, A₂, …ինչպեսասույթներիհանրահաշվում, այնպեսելայստեղկանվանենքփոփախականարտահայտություններ(переменныевысказывания), կամհաստատունարտահայտություններ(постоянныевысказывания):

Հետևյալարտահայտությունները`F(x),G(x, y),P(x₁…x_n), A(x, x) … պրեդիկատներեն, այսինքնֆունկցիաներ, որոնցարգումենտներըընդունումենարժեքներ𝔐բազմությունից: ԻսկֆունկցիաներըկարողենընդունելմիայնИկամЛարժեքներ:

Մեծատառլատինականտառերըևպրեդիկատներիսիմվոլներըինչպեսանհատառարկաներից, այնպեսևառարկայականփոփոխականներից, անվանելուենքէլեմենտարֆորմուլաներ, որոնցկարելիէիրարհետկապելարտահայտություններիհանրահաշվիգործողություններով(операциивысказываний)

&, V, →, -

Ասացվածիցստացվողֆորմուլաներըիրենցհերթինկարողենանվանվելարտահայ-տությունկամպրեդիկատներ`

1. A⋁ F(x);

2. A (x, y)(B &A(x, x));

3. G (x, y)G(x, x)

4. L(x)∼L(y) և այլն:

Այստեղ եթե x-ը և y-ը ընդունում են միևնույն արժեքները, ապա այդ պրեդիկատը ընդունում է И արժեքը:

Քվանտորներ (кванторы):

Արտահայտություններիհանրահաշվի(алгебра высказываний) գործողություններից բացի մենք պետք է կիրառենք եվս 2 գործողություններ(операции), որոնք չկային նշվածի մեջ, քանի որ նրանք կապված են պրեդիկատների տրամաբանության հատկանիշների հետ: Այդ գործո-ղությունները իրենցից արտահայտում են հաստատումը գոյության և ընդհանրության (утверждения всеобщности и существования):