Интервальные оценки параметров распределения
Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличатся от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью γ покрывает оцениваемый параметр.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении.
Для оценки математического ожидания a нормально распределенного количества признака X по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал
,
где
- точность оценки, n
– объем выборки, t
– такое значение аргумента функции
Лапласа Ф(t)
при котором Ф(t)=γ/2.
Пример 2.
Найти
доверительный интервал для оценки с
надежностью 0,95 неизвестного математического
ожидания а
нормально распределенного признака Х
генеральной совокупности, если даны
генеральное среднее квадратическое
отклонение σ=5, выборочная средняя
и объем выборки n=25.
Решение:
В выражении
все величины, кроме t известны. Из соотношения 2Ф(t)=0.95 получим Ф(t)=0.475. С помощью таблиц находим t=1,96. После подстановки получаем искомый доверительный интервал:
12.04<a<15.96.
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда.
Модой М0 называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медианой m0 называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант
нечетно, то есть n=2k+1, то m0=xk+1
четно, то есть n=2k, то m0=(xk+xk+1)/2.
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами.
R=xmax-xmin
Средним абсолютным отклонением θ называют среднее арифметическое абсолютных отклонений
θ=Σni| xi-xв|/n
Коэффициентом вариации V называют выраженное в % отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней
V=σв/хв·100%
Оценки моментов и квантилей распределения
Моменты высших порядков.
Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Теми же приемами пользуются и в теории вероятностей. Чаще на практике применяются моменты двух видов: начальные и центральные.
Начальный момент s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени этой случайной величины: as = M[Xs].
(6.7)
Математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
.
Центрирование случайной величины аналогично переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию случайной величины.
Центральным моментом s-го порядка СВ X есть математическое ожидание s-й степени центрированной случайной величины: ms = M[(X-mx) s].
(6.8)
Очевидно, что для любой случайной величины Х центральный момент первого порядка равен нулю:
Аналогично можно получить моменты не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки а.