Электромагнитное поле коаксиальной цепи

Предположим, что ось кабеля совпадает с z. Тогда вследствие цилиндрической симметрии э/м поле не будет зависеть от коорди­наты  и все производные по  будут равны нулю. Кроме того, по физическим соображениям будет отсутствовать составляющая Н_z на­пряженности магнитного поля по оси z, тангенциальная составляю­щая напряженности электрического поля Е_ и радиальная состав­ляющая напряженности магнитного поля Н_r. Следовательно, для ко­аксиального кабеля останутся лишь составляющие э/м поля.

В результате э/м поле коаксиальной цепи определится следующими уравнениями:

(1)

(2)

(3)

Эти уравнения полностью характеризуют э/м поле коаксиального кабеля идеальной конструкции, как в проводнике, так и в диэлектрике.

Найдем выражения для составляющих поля в отдельных эле­ментах коаксиального кабеля. В проводниках кабеля радиальная со­ставляющая напряженности электрического поля Е_r равна нулю. Кроме того, >>i_a. При этих условиях уравнения (1)–(3) можно записать так:

(4)

(5)

В результате получим волновое уравнение аналогичное сим­метричной цепи:

(6)

где

Решением является: (7)

Для внутреннего проводника напряженность электрического поля E_z, и напряженность магнитного поля Н_ опреде­ляются аналогично, как и для одиночного цилиндрического провод­ника (см. соответствующий раздел по симметрическим цепям).

(8)

(9)

Для внешнего проводника напряженность электрического поля определяется уравнением (7). Напряженность магнитного поля определится:

(10)

Для определения постоянных интегрирования, воспользуемся граничными условиями, согласно которым напря­женность магнитного поля на внутренней поверхности внешнего проводника по закону полного тока равна , а напряженность на его внешней поверхности равна нулю. Тогда:

(11)

(12)

Откуда

(13)

Обозначим знаменатель через D:

(14)

Подставим значе­ния А и В в формулы (7) и (10), получим следующее выражение для напряженности электрического и магнитного полей во внешнем проводнике:

Напряженность магнитного поля в пространстве между про­водниками коаксиального кабеля связана с электрическим током, протекающим по внутреннему проводнику кабеля, законом полного тока:

3.5.2 Определение сопротивления и индуктивности коаксиальной цепи.

Поскольку электромагнитное поле внешнего проводника никакого действия на внутренний проводник не оказывает, то полное сопротивление внут­реннего проводника определяется:

При больших соответст­вующем высокочастотной области передачи отношение

Тогда

Откуда

Для оп­ределения полного сопротивления внешнего проводника снова вос­пользуемся теоремой Умова–Пойтинга, согласно которой

По этой формуле можно рассчитывать R_В и L_В при любой частоте тока.

Для практических расчетов при (это выполняется для мед­ных проводников при частоте 60кГц и выше) сопротивление R и ин­дуктивность L может быть определены по формулам

где t = r_c-r_в ;

Если вели­чина , то значение sinU и cosU в сравнении с shU  chU можно пренебречь. Тогда

Для частот свыше 60кГц в формуле для определения R вторым слагаемым в скобке по отношению к первому можно пре­небречь и тогда

Полное сопротивление прямого и обратного проводника определяется

Если внутренний и внешний провод­ник выполнен из одного материала, то

Полная индуктивность ко­аксиального кабеля определяется по формуле

L = L +L_в+L_вн

Внешняя индук­тивность определяется как отношение магнитного потока Ф между проводником к току I, проходящему по коаксиальному кабелю

В области высоких частот L  L_вн , т.к. L_вн >> L_a +L_b