13.2.2 Особенности расчета длинных цилиндрических оболочек

Применительно к расчету длинных оболочек выражение (13.108) целесообразно преобразовать следующим образом. Используя формулы Эйлера

; ,

(13.110)

заменим показательные функции на тригонометрические, тогда выражение (13.108) примет вид

,

(13.111)

где — новые постоянные (действительные).

Первое слагаемое, содержащее множитель , с увеличением быстро затухает. Второе слагаемое, содержащее множитель , наоборот, быстро возрастет. Учитывая, что радиальные перемещения w при больших значениях должны оставаться конечными и малыми, можно заключить, что постоянные и должны быть очень малы. В области, расположенной вблизи от начала координат, вторым слагаемым можно пренебречь, т. е. положить = = 0; тогда

,

(13.112)

где и — постоянные, определяемые по граничным условиям при .

В таком виде функция пригодна для области, расположенной около края при . Для области находящейся около второго края второе слагаемое не может быть отброшено, так как множитель принимает очень большие значения.

Однако для второго края можно выбрать новое начало координат, расположив его на втором торце оболочки и направив ось в противоположную сторону. Тогда можно снова воспользоваться выражением (13.112) и, определив новые постоянные, получить функцию для области, расположенной около второго края оболочки.

Выясним, при какой длине оболочки ее допустимо рассматривать как длинную. Считая предельно допустимую погрешность расчета равной 5% и замечая, что функции вида и , а также их производные при принимают значения , заключаем, что оболочку можно рассматривать как длинную, если

,

(13.113)

или

.	(13.113, а)

При соблюдении этого условия погрешность решения, полученная при применении упрощенного выражения (13.112), не превышает 5%.

Для практических расчетов длинных цилиндрических оболочек, однако, более удобно применять формулы, в которых постоянные интегрирования выражены через некоторые начальные параметры.

	Рассмотрим полубесконечную цилиндрическую оболочку, нагру-женную равномерным внутренним давлением и осевыми силами и , а также краевыми нагрузками и (рис. 13.34). Примем за начальные параметры величины и и выразим через них постоянные и .
Рис. 13.34. Полубесконечная цилиндрическая оболочка

Запишем граничные условия

;

.

По этим условиям найдем значения постоянных.

Внеся значения постоянных в выражение (13.112) и используя зависимости (13.94), (13.95) и (13.97), получим следующие выражения для радиального перемещения , угла наклона нормали ϑ и внутренних силовых факторов M_x , M_t и T_t:

;	(13.114)
;	(13.115)
	(13.116)

;

;	(13.117)
	(13.118)

где — частное решение дифференциального уравнения с правой частью, определяемое по формуле (13.109).

Значения функций, входящих в выражения (13.114) — (13.118), даны в табл. 13.1.

Таблица 13.1