Колебательный контур. Затухающие электромагнитные колебания.

Колебательный контур – осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединенные катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока и напряжения.

Принцип действия: Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет E_c=(CU_0^2)/2. При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечет ток I, что вызовет в катушке электродвижущую силу(ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора E_c=0. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна E_L=(LI_0^2)/2, где L-индуктивность катушки, I_0 максимальное значение тока. После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения U_0. В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре. В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью.

Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Электромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной системе, называемой LCR – контуром.

Дифференциальное уравнение получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении и конденсаторе равна индукции, развиваемой в цепи контура: U_R+U_C=E_(инд.)

Падение напряжения:

1.на активном сопротивлении U_R=IR, I- сила тока в контуре

2.на конденсаторе U_C=q/C, q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.

ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: E_инд=-L dI/dt(закон Фарадея).

Подставим значения U_R,U_C,E_инд в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим: IR+q/C=-L dI/dt

Сила тока определяется как производная от заряда I=dq/dt тогда dI/dt=(d^2 q)/(dt^2 ) и получим (d^2 q)/(dt^2 )+R/L dq/dt+1/LC q=0. Обозначим: R/L=2β,1/LC=ω_0^2, получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде: (d^2 q)/(dt^2 )+2β dq/dt+ω_0^2 q=0