36. Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

1. , где , X =

Покажем, что существует преобразование, которое позволяет перейти от исходной СЛУ к равносильной разрешенной системе.

Элементарные преобразования:

• умножение обеих частей любого уравнения исходной системы на число, не равное нулю

• замена i-го уравнения в системе (1) уравнением вида , позволяют переходить от исходной СЛУ к равносильной.

Док-во: Докажем вторую часть утверждения. Пусть вектор К – решение системы (1), тогда вектор К – это решение любого уравнения системы (1) и поэтому обращает в верное числовое равенство i-е и j-е уравнения, т.е. . Сложив эти равенства получим новое равенство: , из которого следует, что вектор К является решением уравнения вида , а, следовательно, и системы

2. 

Т.к. (2) отличается от (1) только i-м уравнением.

Обратно, пусть вектор L – решение системы (2), тогда вектор L – это решение каждого уравнения этой системы, и поэтому обращает в верное числовое равенство i-е и j-е уравнения, т.е. . Вычитая одно равенство из другого, получаем верное числовое равенство , из которого следует, что вектор L является решением уравнения , а следовательно и системы (1), так как система (1) отличается от (2) только i-м уравнением.

Таким образом, решение системы (1) есть решение системы (2), и обратно, решение системы (2) есть решение системы (1). Следовательно, системы (1) и (2) – равносильны.

37. Существование ненулевого решения у системы линейных однородных уравнений.

СЛУ с нулевыми свободными членами, т.е. В = называется однородной.

Система АХ = (*) однородных линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных (m < n), всегда имеет ненулевое решение.

Док-во: Любая система однородных линейных уравнений совместна, т.к. обладает нулевым решением, причем число шагов при решении такой системы методом Гаусса – не больше числа уравнений системы ( ). Так как по условию число уравнений меньше числа неизвестных в системе (m < n), то (k < n) и система является неопределенной, т.е. имеет более одного решения, в том числе ненулевое.

38.Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

Определение: n-мерным вектором (матрицей строкой или столбцом) называют упорядоченную систему из n действительных чисел ( , ,…, ) и обозначают A=( , ,…, ), где n – называют размерностью вектора.

Пусть дана система из n векторов размерности m, тогда:

Определение 1. Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если система линейных уравнений

(1)

имеет не нулевые решения. Если же система (1) не имеет ненулевых решений, то данная система векторов называется линейно независимой.

Определение 2. Система m-мерных векторов называется линейно зависимой, если существует такой ненулевой вектор K ( ) , что выполняется линейное соотношение

(2)

Если же из всякого соотношения вида (2) следует, что K = , то система векторов называется линейно независимой.

ПРИМЕРЫ:

1. Система единичных векторов линейно независима. Эта СЛУ имеет единственное нулевое решение, поэтому она является линейно зависимой.

Док-во: Запишем систему линейных уравнений Е₁х₁ + … + E_nx_n = θ, матрица условий которой составлена из единичных векторов в виде таблицы. Из таблицы видно, что эта СЛУ имеет единственное нулевое решение, т. е. не имеет ненулевых решений, а поэтому система единичных векторов является ЛНЗ.

Е1	E2	Е3	…	En	B
1	0	0	…	0	0
0	1	0	…	0	0
…	…	…	…	…	0
0	0	0	…	1	0

2. Система m-мерных векторов является линейно зависимой, если число векторов превышает размерность векторов, n > m.

Док-во: Так как СЛУ A₁x₁ + … + A_nx_n = θ содержит m уравнений и n неизвестных, а по условию n>m, то по следствию из метода Гаусса система имеет ненулевые решения и, следовательно, система векторов A₁, A₂, …, A_n является ЛЗ.

3. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, является линейно независимой.

Док-во: Пусть вектор А не равно 0. Тогда из соотношения Ak = θ имеем, что k = 0, и по определению система, состоящая из одного ненулевого вектора, является ЛНЗ.

4. Система векторов , является линейно зависимой при любых векторах

Док-во: Так как соотношение θ1 + 0 + … + A_n0 = θ выполняется при К не равно θ, то по определению система векторов θ, является ЛЗ.

5. Любые три 3-х мерных ненулевых вектора A₁, A₂, A₃ не лежащие в одной плоскости, образуют линейно независимую систему векторов.

Док-во: Предположим противное, т. е. данная система векторов является линейно зависимой. Тогда по определению найдется такой вектор K = ( k₁, k₂, k₃) не равно θ, для которого будет выполняться соотношение A₁k₁ + A₂k₂ + A₃k₃ = θ. Пусть k₁ не равно 0. Тогда вектор А₁ можно представить в виде диагонали A₁ = A₂ (-k₂/k₁) + A₃ (-k₃/k₁) параллелограмма, построенного на векторах A₂ (-k₂/k₁) и A₃ (-k₃/k₁). Откуда следует, что векторы A₁, A₂, A₃ лежат в одной плоскости. Это противоречит условию. Поэтому предположение о линейной зависимости данных векторов не является верным. Следовательно, данная система ЛНЗ.