Ход работы:

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	a = min(Ai)
A1	2	3	2
A2	3	5	3
b = max(Bi)	3	5

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂. Верхняя цена игры b = min(b_j) = 3. Седловая точка (2, 1) указывает решение на пару альтернатив (A2,B1). Цена игры равна 3. 2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью. Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij >= a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного ja_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая. Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij <= a_il и хотя бы для одного i a_ij< a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой. Стратегия A2 доминирует над стратегией A1 (все элементы строки 2 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p1 = 0.

3

5

С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 2 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 2-й столбец матрицы. Вероятность q2 = 0.

3

Мы свели игру 2 x 2 к игре 1 x 1.

Задача2:

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях. Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	-3	2	3	5	-3
A2	0.3	0.4	0.1	0.2	0.1
b = max(Bi)	0.3	2	3	5

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 0.1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂. Верхняя цена игры b = min(b_j) = 0.3. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 0.1 <= y <= 0.3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии). 2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы. Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью. Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij >= a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного ja_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая. Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij <= a_il и хотя бы для одного i a_ij< a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой. С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 2 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 2-й столбец матрицы. Вероятность q2 = 0. С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B3 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 3), следовательно исключаем 4-й столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

-3	3
0.3	0.1

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки. Мы свели игру 2 x 4 к игре 2 x 2. Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (3). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

0	6
3.3	3.1

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так: найти минимум функции F(x) при ограничениях: 3.3x₂ >= 1 6x₁+3.1x₂ >= 1 F(x) = x₁+x₂ → min найти максимум функции Ф(y) при ограничениях: 6y₂ <= 1 3.3y₁+3.1y₂ <= 1 Ф(y) = y₁+y₂ → max Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков: p_i = g*x_i; q_i = g*y_i. Цена игры: g = 1 : 0.31313131 = 1 p₁ = 1 • 0.01010101 = 0.03225806 p₂ = 1 • 0.30303030 = 0.96774193 Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (0.03225806; 0.96774193) q₁ = 1 • 0.14646465 = 0.46774195 q₂ = 1 • 0.16666666 = 0.53225804 Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (0.46774195; 0.53225804) Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры. 1 - 3 = 0.19354841 Цена игры: v=0.19354841 4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии. ∑a_ijq_j <= v ∑a_ijp_i >= v M(P₁;Q) = (-3•0.46774195) + (3•0.53225804) = 0.19 <= v M(P₂;Q) = (0.3•0.46774195) + (0.1•0.53225804) = 0.19 <= v M(P;Q₁) = (-3•0.03225806) + (0.3•0.96774193) = 0.19 <= v M(P;Q₂) = (3•0.03225806) + (0.1•0.96774193) = 0.19 <= v Поскольку из исходной матрицы были удалены и столбцы, то найденные векторы вероятности можно записать в виде: P(0.03225806,0.96774193) Q(0.46774195,0,0.53225804,0)

Лабораторная работа №10