Похідні основних елементарних функцій

Правила диференціювання

Похідна складеної функції Похідна оберненої функції

Похідна функції, заданої параметрично:

Тема : Диференціал функції однієї змінної. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя

Мета: повторити знання з обчислення похідних та диференціала

функцій. Систематизація знань та умінь студентів з обчислення похідної

функцій. Виховувати в студентів акуратність, увагу, культуру письма і

усної мови.

План заняття.

1. Диференціал функції. Геометричний зміст диференціалу.

2. Застосування диференціалу до наближених обчислень.

3. Правило Лопіталя.

Якщо функція y=f(x) диференційована в точці х, тобто має в цій точці похідну (x) , то можна записати ,

де α – нескінченно мала величина, тобто α→0 при Δх→0, звідси приріст функції запишеться Δу=у' Δх+αΔх.

Означення. Головна частина у' Δх приросту функції, лінійна відносно Δх, називається диференціалом функції і позначається dy=у' Δх.

Поклавши в цій формулі у=х, отримаємо dх= х'Δх=Δх, звідси

. (4)

Якщо Δх дуже мале, то Δу dy, або

(5)

Формулу (6) використовують в наближених обчисленнях.

Правило Лопіталя Нехай функції f(x) і g(x) неперервні на відрізку [а;b], диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізка, при чому ніде не перетворюється в нуль на (a;b) і дорівнюють нулю при х=а: f(x)=g(x)=0. Тоді існує границя відношення при причому

.

Тема: Інтегральне числення функції однієї змінної.

Мета: повторити знання та вміння студентів з обчислення

невизначених інтегралів. Виховання в студентів активного ставлення

до навчання, розвиток пізнавальної діяльності та культури розумової

праці.

План заняття.

1. Поняття операції інтегрування.

2. Невизначений інтеграл. Табличні інтеграли.

3. Властивості невизначеного інтеграла.

4. Методи обчислення інтегралів:

• безпосереднє інтегрування;

• інтегрування підстановкою;

• інтегрування частинами;

• інтегрування раціональних дробів.

Основне завдання диференціального числення полягає в знаходженні диференціала даної функції або її похідної. Основною задачею інтегрального числення є задача про відновлення функції за її похідною, яка приводить до поняття невизначеного інтеграла, який виражає собою сукупність всіх первісних функцій f(x) на проміжку a<x<b.

Згідно з основною теоремою інтегрального числення для кожної неперервної на проміжку a<x<b функції f(x) існує на цьому проміжку первісна, а значить, невизначений інтеграл.

Основні відомості з теорії

Означення. Сукупність всіх первісних для f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом

.

Властивості невизначеного інтеграла:

,	,
,	,

Таблиця основних інтегралів

Основні методи інтегрування

1. Безпосереднє інтегрування. Суть методу полягає в тому, що підінтегральний вираз зводять до табличного інтегралу шляхом перетворень і використання властивостей невизначеного інтегралу.

2. Метод підстановки полягає в тому, що одну змінну замінюють іншою. При цьому нову змінну намагаються вибрати таким чином, щоб одержаний інтеграл можна було звести до табличного.

3. Метод інтегрування за частинами полягає у використанні формули ,

в якій U, V – деякі функції від х.

Цей метод частіше всього використовується тоді, коли під знаком інтеграла є добуток алгебраїчної і трансцендентної функції. При цьому за U приймаємо функцію, яка диференціюванням спрощується, а за dV – ту частину підінтегрального виразу, що містить dx. Інтеграл від якої відомий, або його можна легко знайти.

4. Метод інтегрування дробово-раціональних функцій. Дробово-раціональною функцією називається відношення двох многочленів, тобто Якщо степінь многочлена, що стоїть в чисельнику, менший за степінь многочлена знаменника, то дріб називається правильним, в противному випадку дріб називається неправильним.

Інтегрування правильних раціональних дробів зводиться до розкладу правильного дробу на простіші раціональні дроби, коефіцієнти яких знаходяться застосуванням методу невизначених коефіцієнтів.

Тема : Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.

Застосування визначеного інтеграла.

Мета: повторити набуті знання студентів з обчислення визначеного

інтеграла. Виховувати в студентів свідоме ставлення до навчання,

розвивати пізнавальну активність і культуру розумової праці.

План заняття.

1. Суми Дарбу. Інтегральна сума. Властивості суми Дабу.

2. Визначений інтеграл його геометричний зміст. Властивості визначеного інтеграла.

3. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.

Відомо, що до поняття визначеного інтегралу привели задачі практичного характеру. Однією з них є задача про обчислення площі криволінійної трапеції.

Основні відомості з теорії

1. Означення. Визначеним інтегралом від неперервної на [a;b] функції f(x) в межах від a до b називається границя інтегральної суми, при умові, що довжина максимального з відрізків прямує до нуля, тобто

.

2. Основні властивості визначеного інтегралу

,	,
,	,
,

3. Формула Ньютона-Лейбніца ,

встановлює зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралом.

4. Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою y=f(x), відрізком [a;b] осі Ox, прямими x=a, x=b.

,

якщо f(x) розміщена під віссю Ох то

.

Площа криволінійної трапеції, обмеженої неперервними кривими y=f(x), y=φ(x), f(x) φ(x) і прямими х=а, х=b.

.