23. Симптомы мультиколлинеарности:

- незначимость большинства регрессионных коэффициентов (по результатам тестов Стьюдента в большинстве случаев нулевую гипотезу принимаем) при значимости уравнения в целом (по результату теста Фишера нулевую гипотезу отвергаем);

- значительные изменения регрессионных коэффициентов при незначительных изменениях объема выборки или состава факторов, включенных в модель;

- чрезмерно высокие или противоречащие по знакам экономической теории значения регрессионных коэффициентов.

24. Методы диагностики проблемы мультиколлинеарности:

- Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами, включаемыми в модель. Если между какими- либо парами факторов парный коэффициент корреляции по модулю больше 0,7, то в модели будет проблема мультиколлинеарности;

- Расчет коэффициентов увеличения, или разбухания дисперсии , где - коэффициент детерминации, подсчитанный по уравнению регрессии (в правой части уравнения присутствуют все факторы, кроме j-го фактора). Коэффициент VIF_j показывает, во сколько раз возрастает дисперсия j-го регрессионного коэффициента по сравнению со случаем отсутствия линейной связи между j-м фактором и остальными факторами модели. На практике считается, что если существуют VIF_j ≥3, то в модели будет проблема мультиколлинеарности.

- Расчет частных и получастных коэффициентов корреляции. Для этого находят остатки e(X_j) регрессии (в правой части уравнения присутствуют все факторы, кроме j-го фактора) и остатки e(Y\X_j) регрессии (в правой части уравнения присутствуют все факторы, кроме j-го фактора).

Коэффициент корреляции, подсчитанный между e(X_j) и e(Y\X_j), называется частным коэффициентом корреляции между X_j и Y. Частный коэффициент корреляции оценивает направление и тесноту линейной связи между X_j и Y при исключении влияния остальных факторов на оба показателя. Если частный коэффициент корреляции по модулю большой, то фактор должен присутствовать в модели.

Коэффициент корреляции, подсчитанный между e(X_j) и Y, называется получастным коэффициентом корреляции между X_j и Y. Получастный коэффициент корреляции оценивает направление и тесноту линейной связи между X_j и Y при исключении влияния остальных факторов на показатель X_j. Получастные коэффициенты корреляции позволяют ответить на вопрос о вкладе каждого фактора в множественный коэффициент корреляции. Квадрат j- го получастного коэффициента корреляции показывает, насколько уменьшится величина коэффициента детерминации, если j-й фактор исключить из модели.

25. Борьба с мультиколлинеарностью путем изменения состава факторов

25. Алгоритм пошагового включения:

ШАГ 1: выбирают фактор X₁, наиболее сильно коррелированный с результативным показателем, и стоят модель парной регрессии Y=b₀+b₁*X₁.

ШАГ 2: оценивают все варианты регрессионных моделей с двумя факторами: Y=b₀+b₁*X₁+b_m*X_m, m=2..k. Выбирают фактор X₂, обеспечивающий максимальный прирост коэффициента детерминации (по другому можно сказать- добавляют фактор с максимальным коэффициентом получастной корреляции).

ШАГ 3: оценка значимости включения фактора в модель с помощью теста Фишера. Обозначим через R²_(безX2) коэффициент детерминации для модели Y=b₀+b₁*X₁, через R² коэффициент детерминации для модели Y=b₀+b₁*X₁+b₂*X₂, через R²= R²- R²_{(без X2).} Нулевая гипотеза этого теста H0: , что включение в модель фактора X₂ в генеральной совокупности не приводит к увеличению объясненной вариации результативной переменной. Тестовая статистика рассчитывается по формуле:

Доказано, что в случае справедливости нулевой гипотезы F является случайной величиной, распределенной по закону Фишера с 1, n-2-1 степенями свободы альт.г. включение в модель фактора X₂ и в генеральной совокупности приводит к увеличению объясненной вариации результативной переменной.

ШАГ 4: Если не все потенциальные факторы включены в модель на предыдущем шаге, то идем на ШАГ 2, определяя следующий фактор для включения в модель по критерию максимума прироста коэффициента детерминации, и затем идем на ШАГ 3 для оценки значимости включения следующего фактора в модель. В общем случае тестовая статистика в тесте Фишера имеет вид:

, и в случае справедливости нулевой гипотезы F является случайной величиной, распределенной по закону Фишера с 1, n-d-1 степенями свободы, где d- текущее количество факторов в модели. Если же все потенциальные факторы включены в модель, то идем на ШАГ 5.

ШАГ 5: Анализируем все рассмотренные модели и отбираем из них те, в которых все факторы значимы (во всех тестах Стьюдента нулевая гипотеза отвергалась). Из отобранных моделей выбираем ту, в который коэффициент детерминации максимален.