1Й раздел: Задачи теории игр
Указывается идентификатор (например (5х4)) стоимость задачи (1 - 1,5 условных задачи), книга с теорией и презентации
(цена 1 условная задача). (4х5)Решить антагонистическую игру. (Презентация Теория Игр)
Вычёркивая убрать доминируемые стратегии. (Подставить параметры в матрицу)
(Представлены два
«автомобилиста», которые лихо проезжают
на Васильевском острове/Манхеттене) в
районе есть вертикальные и горизонтальные
улицы. Первый игрок выбирает горизонтальные,
Второй игрок выбирает вертикальные,
это определяет перекрёсток на котором
они столкнутся, после чего они прочитают
сумму в миллионах, которую второй игрок
– платильщик, должен выплатить первому
- получателю.
Решение удаляются
(покомпонентно) большие столбцы и
покомпонентно меньшие строки. Строка
называется покомпонентно меньшей
(доминируемой), если АБСОЛЮТНО все её
элементы меньше (точнее не превосходят)
соответствующих
элементов НЕКОТОРОЙ другой строки.
Такую строку можно вычеркнуть, так как
она заведомо не выгодна для первого
игрока (для получателя).(оформление: в
торце линий вычеркивания в скобках
подписать номера доминирующих стратегий,
являющихся основой их удаления, !!! линии
не должны пересекаться, но могут
прерываться). В ответе указать цену
игры. Иногда игра имеет смешенное
равновесие. В этом случае с помощью
максимина и минимакса необходимо дать
интервальную оценку цены игры(+0,5 задачи).
Также указать вектор вероятностей для
стратегии 1-го игрока
,
и 2-го игрока
Пример:
в этом случае есть решение в чистых
стратегиях.
Бывает,
остаётся подматрица 2х2 см следующий
пример (редко, но бывает 3х3) – в таких
случаях удалять стратегии (когда
доминирование отсутствует), является
ошибкой. Ответ пишется через двойное
неравенство. Желающие могут провести
интервальную оценку при Седловой точки
в чистых стратегиях (+ ещё 0,3-0,4 задачи..)
Приведём
(1/2 уз)Найти решение игры (если нужно, то в смешанных стратегиях)
.
В ответе указать оптимальную стратегия
первого игрока (вектора вероятностей
хода)
,
и второго игрока
.
То же для
(Презентация Теория Игр).(1/2 (половина) условной задачи). Решить многошаговую игру
,
,
(Презентация Теория Игр): Для Решения
Вычисляется последовательно цена
каждой игры с подстановкой этого
численного значения в игру следующего
уровня…
(Цена 1/2 +1/2 за две части)(Презентация Теория Игр)
а) Методом сжимающих
отображений решить стохастическую игру
- стартовав с
.
выполнить 4(3) итерации
б) Найти устойчивые
точки отображения выполнить десть
итераций
;
Рекомендуется начать с части б).
б)Решение и теория.
Обе эти задачи на метод сжимающих
отображений. Пусть
,
.
Стартуем с точки 10
(это – к счастью - не соответствует
никаким параметрам)
Отображение
Последовательно
вычисляем
(10
итераций)
Ответ
неподвижная точка сжимающего отображения
(указать точность, исходя из числа
стабилизировавшихся разрядов).
Решение части а)
основывается на формуле для игры не
имеющей решений в чистых стратегиях
Необходимо
подставить исходное приближение
вместо
в матрицу игры, рассчитать по формуле
цену игры,
,
повторить вычисление …
,
(4 раза). Если результаты ДОСТАТОЧНО
высокой степени повторяются, то можно
обрывать вычисления, записывая в ответ
экстраполяцию ряда цен игры.
Ответ: цена игры
.
Погрешность определяется темпом
сходимости и модулем последней разности
.
(1/1,5 задачи за обе игры) а)решить игру
(заполнена диагональ, вне её нули) и
б)(разложимую) игру
(Презентация
Теория Игр, Данилов)
второй случай
сводится к решению 2х игр 2х2 (одна из
которых точно имеет смешенное равновесие
– во всех таких случаях применить
теорему об активных стратегиях). В первом
(а) случае необходимо предположить
распределение вероятностей вида
.
И предварительно обосновав активность
каждой стратегии
(2 условные задачи) рассчитать параметры олигополии
а) Курно
,
при издержках
- первой фирмы и
2-й фирмы
б) рассчитать параметры олигополии Штакельберга (2я ведомая). Рассмотреть ситуации, когда первая фирма становится ведомой.
Взяв любую разумную процентную ставку из интернет-поисковика (ещё лучше на память) оценить капитализацию обеих фирм.
Для решения
воспользоваться уравнениями наилучших
ответов
,
смысл которых в том, что при линейной
функции затрат монополист берет половину
конкурентного рынка
,
а олигополист, как бы является монополистом
на СОБСТВЕННОМ конкурентном рынке,
оставленном ему другими игроками. Иметь
ввиду, что объёмы конкурентного рынка
у всех игроков-олигополистов разные.
Они определяются их индивидуальными
издержками
.
(Презентация Дуополия Курно)(Книга Данилов)
Ответить те же вопросы для дуополии Курно с издержками игроков, соответственно,
и
.
Вычислить установившиеся цены, их доли
на рынке и их прибыль при функции спроса
.
При каком пороге издержек производство
второй фирмы станет нерентабельным.
(Презентация Дуополия Курно)(Книга Данилов)
(1у.з.) Оценить 4 пакета акций размера a,b,c и d соответственно, считая, что выигрывающая коалиция (50+1% акций) получает всё, т.е. 100% или цену предприятия (остальные ничего) (простая игра).
ВНИМАНИЕ ВАЖНО: в случае наличия контрольного пакета все пакеты увеличиваются в 2 (и более, если не достаточно) раз (пока контрольный пакет не исчезнет – иначе задача бессмысленно тривиальна).
Общая стоимость предприятия S=200млн долл. В ответе указываются цены 4х пакетов акций (Вектор Шепли).Указание: Для решения рассмотреть все 24=4! (факториал) перестановок – вариантов входа игроков.(презентация «1234») (книга Оуэн)
УЗ(1 условная задача)Решить задачу управления запасами – рассчитать оптимальную сумму снимаемую гражданином в банкомате, банковский процент (ЦЕНА хранения денег) 0,01(2b+d) 1/год, доход и расход гражданина
р./мес.,
оценка затрат на снятие денег в банкомате
- цена заказа 40(c+6)р.
Указание: Все расчеты Обязательно
производить В СТАНДАРТНОМ представлении
с плавающей точкой (и с РАЗМЕРНОСТЬЮ).
Указание
(или
).
Одновременно оценить спрос на деньги населения N=(c+d)20*106 (1у.з.) (презентация ММИО-исследование операций)(книги Таха, Кремер).
Решить задачу управления запасами.
Стоимость заказа S=(a+2) тысяч рублей,
Величина удельных издержек на хранение С=с руб/(шт.*день). (С=0.001*с тыс. руб/(шт.*день).)
Величина постоянного спроса на товар
шт./день
Рассчитать объем заказа(Q) при котором средние издержки на заказ и хранение минимальны (оптимальный объем заказа).
Указание: считать, что надо минимизировать
функцию затрат
.
Считая, что на выполнение заказа требуется b дней. При каком объёма запасов на складе работники склада должны выписывать новые партии товара.
Теория
,
имеет минимум в точке
,
что обнаруживается приравниванием
производной
к
0, аналогично
,
и
При управлении
запасами издержки по их хранению
определяются
(объём
в денежном выражении умноженный на
банковский процент ), время между заказами
(время вытекания со скоростью
объёма
воды
из «аквариума» в роли которого объём
партии поставки), расход на доставки
,
где S – стоимость доставки. Имеем
минимизируемый функционал
(
).
Откуда
,
,
.
Оптимальный объём может быть найден из
(1.5/2 у.з.) решить многопериодную дилемму заключенного.
Найти
порог устойчивости коллективно
оптимального секвенциального равновесия.
Вычислит минимальное совместимое с
устойчивостью коллективного решения
время между играми. (заседаниями совета
директоров) Принять процентную ставку
в экономике равной процентной ставке
ЦБ (если не помните, взять в
Яндексе).(Презентация СПРН)(Книга
Данилов)
(решить игру в позиционной форме с 1й лотереей).(Презентация Теория Игр) (1 условная задача)
(См.
Данилов Теория Игр) Требования на
параметры
.(во
избежание отрицательных весов в Лотерее)
(Презентация Теория Игр)
(1.5/2 у.з.) решить задачу оптимального инвестирвания (Данилов или Оуэн,Теория Игр)( Презентация Теория Игр)
2хn игра ( см.Презентация Теория Игр)
(1.5 у.з. если 2 части) дана эволюционная игра
,
где
Выписать
количество игроков второго и первого
типов в равновесии и их выигрыш. По
последнему показателю сравнить два
варианта. I
и II
.
В каком обществе жить лучше?.
(Данилов Теория Игр)(Презентация
Ястреб-Голубь)(1-2 уз) Рассчитать 10 критериев для 4 альтернатив. Обвести кружком победителей по каждому критерию (Кузьмич методы принятия решений)
Расчёт критерия Вальда при весах
критериев
.
Расчет критерия Гурвица при уровне
оптимизма
,
Ходжа-Лемона при уровне доверия
(Презентация критерии)
(1,5 условных задач) (решается только один из двух АНАЛОГИЧНЫХ примеров)рассчитать все 10 основных критериев для 4х альтернатив
вначале веса даны для критерия Байеса. Для критерия Гурвица и Ходжа-Лемона взять любой допустимый вес (из отрезка [0;1]) отличный от 0, ½ и 1. Допустимы пары [0,7;0,3], [0,2;0,8] [0,4;0,6], [0,9;0,1] (Кузьмич методы принятия решений) (Презентация критерии)
Пример расчета критериев
(цена: 2 задачи в зависимости от качества оформления) Игра в угрозах (решить один из двух вариантов) ( Презентация Теория Игр, впоследствии Игра в угрозах):
Вариант I
,
Вариант
II
Отражающая ведение переговоров антагонистическая игра описывается
.Цена этой игры,
,
а равновесная стратегия переговоров
,
,
.Коалиционная стратегия и , выигрыш
.система
решений
Точка и условия заключения контракта представляют собой
.
Решить игру в угрозах(пример):
,
пары стратегий обозначить по матрице:
Решение: Разность выигрышей определяется (равна) разностью выигрышей в позиции равновесных угроз. Для нахождения
В итоге получим
уравнение
- приращение выигрыша одного игрока при
отказе от угроз
Коалиционный
выигрыш С задаёт границу бюджетного
множества
определяется элементом с максимальной
суммой, в каждом конкретном случае он
разный - в нашем случае это
,
откуда
,
;
;
Ответ: коалиционный
выигрыш 210, равновесие по 2-й схеме в
угрозах (d,r):
20;-240; приводит к разделу выигрыша:
.
Проверка решения
системы:
переходит в
,
что ВЕРНО.
решить задачу оптимального инвестирования(1,5-2 условные задачи)
2хn игра (презентация теория игр).