Указания:

1. Оптимальные чистые стратегии следует находить, используя:

В п.3, а) критерий Байеса. В п.3, б) критерий Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (величину параметра в критерии Гурвица принимать равной 0,7).

2. Рассмотреть четыре возможные чистые стратегии правления банка.

Все необходимые данные задаются матрицей:

.

1		2		3
4		5		6
7		8		9
10	11		12
13	14		15

Методические указания к выпонению заданий

ПРИМЕР 1. В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

.

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m , благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

 =   =   =   =   =     0,38.

Ответ:

ПРИМЕР 2. У студента в сессию четыре экзамена. Вероятности того, что студент сдаст успешно каждый из трех экзаменов, соответственно равны p₁ = 0,8, p₂= 0,9, p₃= 0,6, p₄= 0,7. Найти вероятность того, что студент успешно сдаст:

1. хотя бы один экзамен;

2. не менее трех экзаменов;

3. все экзамены.

Решение. Пусть А_i (i = 1, 2 ,3, 4) – события, означающие, что студент сдаст успешно каждый из четырёх экзаменов. Тогда ; ; ; . Обозначим , (i = 1, 2 ,3, 4) –  события, означающие, что студент не сдаст каждый из четырёх экзаменов. ; ; ; .

1. Событие А, состоящее в том, что студент успешно сдаст хотя бы один экзамен, есть сумма событий . Противоположным для этого события является событие, состоящее в том, что студент не сдаст ни один из экзаменов. Оно может быть представлено в виде произведения независимых событий: . Учитывая теорему о вероятности произведения независимых событий, имеем:

 =  .

2. Событие , состоящее в том, что студент успешно сдаст не менее трех экзаменов, есть сумма несовместных событий, означающих, что будет успешно сдано или ровно 3, или все 4 экзамена. В символьной записи имеем:

.

Применяя теорему о вероятности суммы несовместных событий и теорему о вероятности произведения независимых событий, получим:

 = 

 ₌ 

 = 

.

3. Событие С состоит в том, что студент успешно сдаст все четыре экзамена, С есть произведение событий :

^.

Применяя теорему о вероятности произведения независимых событий, получим

Ответ: а) ; б) в) .

ПРИМЕР 3. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 27 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, обувь 27 размера потребуют:

1. ровно 90 покупателей;

2. не менее 90 покупателей.

Решение. Так как велико, и , то для нахождения требуемых вероятностей необходимо воспользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. ,

.

1. Найдём вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, ровно для 90 покупателей потребуется обувь 27 размера:

.

2. Найдём вероятность того, что из 400 покупателей, зашедших в магазин, не менее 90 потребуют обувь 27 размера. Здесь , . Тогда

,

где

, .

По таблице значений функции Лапласа находим: ,

.

Поэтому

.

Ответ: а) ; б) .

ПРИМЕР 4. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса не допущена ошибка, равна 0,9. Аудитору на заключение представлено 4 баланса предприятия. Составьте закон распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Найдите:

1. числовые характеристики этого распределения: М(Х), D(X);

2. функцию распределения F(X) и постройте ее график;

3. вероятность того, что:

1. ни один бухгалтерский баланс не получит положительного заключения;

2. хотя бы один бухгалтерский баланс получит положительное заключение;

3. не более двух бухгалтерских балансов получат положительное заключение.

Решение. Составим закон распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы. Из четырех проверяемых балансов положительное заключение может получить ни один баланс, один, два, три и все четыре баланса, т.е.

.

Вероятности вычислим по формуле Бернулли , при этом .

;

;

;

;

.

Проверим выполнение соотношения .

.

Тогда ряд распределения случайной величины Х  – числа положительных заключений на проверяемые балансы примет вид

Таблица 3

Х	0	1	2	3	4
р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

1. Найдём математическое ожидание .

Найдём дисперсию .

.

Замечание. Так как случайная величина Х имеет биномиальное распределение, то числовые характеристики можно вычислять по формулам:

.

2. Найдём функцию распределения .

или

Построим график функции .

Рисунок 2 – График функции

3. Искомые вероятности найдем, используя закон распределения СВХ:

а) р(Х = 0) = 0,0001;

б) р(Х  ≥ 1) = р(Х = 1) + р(Х  = 2) + р(Х = 3)  + р(Х = 4) = 

= 0,0036 + 0,0486 + 0,2916 + 0,6561 = 0,9999,

или

р(Х ≥ 1) = 1 – р(Х = 0) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

в) р(Х  2) = р(Х = 0) + р(Х = 1) + р(Х = 2) = 

= 0,0001 + 0,0036 + 0,0486 = 0,0523.

Ответ: 1) ; ; 3) а) 0,0001; б) 0,9999; в) 0,0523.

ПРИМЕР 5. При обследовании 60 семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи:

Таблица 4

5	9	2	4	6	3	7	9	1	3
2	5	6	8	2	5	2	3	6	8
3	4	4	5	6	5	4	7	5	1
6	4	8	7	4	5	7	8	6	5
9	5	6	9	9	3	4	6	5	4
7	6	8	9	5	4	3	5	7	8

Требуется:

1. составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;

2. построить гистограмму и полигон относительных частот;

3. найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

4. вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ).

Решение.1)Изучение непрерывных случайных величин начинают с разбивки интервала изменения случайной величины на частичных интервалов равной длины и подсчета частоты попадания значений случайной величины в каждый интервал. Обычно таких интервалов берётся (Эта формула рекомендуется при проверке гипотезы о виде закона распределения изучаемой случайной величины. Вообще говоря, строгих правил для выбора числа интервалов группирования не существует. Практический же опыт первичного анализа статистических данных показывает, что удовлетворительным является число интервалов от 5 до 15).

В нашем случае _{, ,}

 = 

Длину интервала удобно брать так, чтобы последняя цифра была четной. Тогда и середина интервала будет иметь последнюю цифру того же десятичного разряда, что и концы интервала. Начало первого интервала принимаем равным Тогда первый интервал будет [1 – 2,2], второй –  и т.д.

Шкалу интервалов и группировку статистических данных представим в виде таблицы 5.

Таблица 5

интервалы	[1; 2,2]	(2,2; 3,4]	(3,4;4,6]	(4,6;5,8]	(5,8;7]	(7;8,2]	(8,2;9,4]
Частота	6	6	9	12	15	6	6
Относительная частота	0,1	0,1	0,15	0,2	0,25	0,1	0,1
Накоплен-ная относ. частота	0,1	0,2	0,35	0,55	0,8	0,9	1

2)Таким образом, мы составили интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных.

Строим гистограмму и полигон относительных частот. На оси откладываем частичные интервалы длины , а на каждом интервале, как на основании, строим прямоугольник с высотой, пропорциональной относительной частоте интервала (с высотой, равной ).

Соединим середины верхних оснований отрезками прямых линий, получим полигон относительных частот.

Рисунок 3 – Гистограмма и полигон относительных частот

3. Эмпирическую функцию распределения получим с помощью накопленных относительных частот.

Построим график функции .

Рисунок 4 – График функции

4) Найдем числовые характеристики выборки:

Выборочную среднюю найдем по формуле ; здесь  – середина -го интервала, – частота -го интервала,  – количество интервалов.

Выборочную дисперсию находим по формуле

или

.

Так как объём выборки велик, то выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия практически совпадают. Для упрощения вычислений используем таблицу 6.

Таблица 6

Интервалы	Середина интервала	Частота
[1 – 2,2]	1,6	6	9,6	–3,7	82,14
(2,2 – 3,4]	2,8	6	16,8	–2,9	50,46
(3,4 – 4,6]	4,0	9	36,0	–1,3	15,21
(4,6 – 5,8]	5,2	12	62,4	–0,1	0,12
(5,8 – 7]	6,4	15	96,0	1,1	18,15
(7 – 8,2]	7,6	6	45,6	2,3	31,74
(8,2 – 9,4]	8,8	6	52,8	3,5	73,50
Сумма		60	319,2		271,32

Таким образом, имеем: 5,3; 4,6.

Выборочное среднее квадратичное отклонение =2,1.

ПРИМЕР 6. Решить задачу линейного программирования графическим методом:

max(min) Z = 3x₁ + 2x₂,

_{x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.}

Решение. Построим область допустимых решений Ω. Из теории следует, что это будет выпуклое множество. Для этого запишем уравнения границ области допустимых решений. Заменив в ограничениях знак неравенства знаком равенства

x₁ + 2x₂, = 14, (I)

x₁ – 4x₂, = – 22, (II)

x₁ – x₂, = 2, (III)

построим эти прямые.

Определим полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам ограничениям. Пересечение этих полуплоскостей образует треугольник АВС, который и является областью допустимых решений Ω. Покажем ее на рисунке 2 штриховкой.

Рисунок 3 – Область допустимых решений Ω

Строим вектор  = (3; 2) – градиент целевой функции Z(х₁; х₂).

Далее проводим линию нулевого уровня 3x₁ + 2x₂, = 0, перпендикулярную вектору  = (3; 2).

Перемещаем линию нулевого уровня в направлении вектора . Первой точкой контакта линии уровня с треугольником АВС является точка А и, следовательно, Z_min = Z(А). Последняя точка контакта – точка С, и следовательно, Z_max = Z(C).

Найдем координаты точек A и С и вычислим экстремальные значения целевой функции.

Точка A – точка пересечения прямых (I) и (II).

А(2; 6), Z_min = Z(А) = Z(2; 6) = 3·2 + 2·6 = 18.

Точка С – точка пересечения прямых (II) и (III).

С(10; 8), Z_max = Z(C) = Z(10; 8) = 3·10 + 2·8 = 46.

Ответ: Z_min = 18, Z_max = 46.