Методические указания по выполнению контрольной работы по разделу «теория вероятностей»

Пример 1. В ящике находится 10 деталей. Из них 3 дефектные. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что:

а) все детали дефектные (событие А);

б) только одна деталь дефектная (событие В);

в) все три детали годные (событие С);

г) хотя бы одна деталь дефектная (событие D).

Решение. Используем классическое определение вероятности.

а) Событие А = {выбранные три детали дефектные};

Элементарное событие в данной задаче - комбинация (сочетание) из трех деталей. - общее число способов выбрать 3 детали из имеющихся 10 деталей. (имеется всего один вариант выбора 3 дефектных деталей)

.

б) Событие В = {из трех выбранных деталей 1 деталь дефектная, две детали без дефекта};

,

где - количество вариантов, благоприятствующих появлению события В, при которых 1 дефектная деталь выбирается из группы 3 дефектных и 2 бездефектные детали выбираются из группы 7 бездефектных деталей

Следовательно, .

в) Событие С = {выбранные три детали бездефектные}

.

г) Событие D = {хотя бы одна из трех выбранных деталей бездефектная}. Рассмотрим противоположное событие .

= { среди трех выбранных деталей нет дефектных}. Так как , то .

Пример 2. Два студента (Петров и Иванов) договорились о встрече в определенном месте между 12.00 и 13.00 часами. Пришедший первым до истечения часа ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Построить множество элементарных исходов по описанию эксперимента и подмножество, соответствующее событию А = {встреча состоится}. Найти вероятность этого события.

Р ешение. Используем геометрическое определение вероятности. Наблюдаемый результат- пара координат (х, у), где х - время прихода Петрова, а у – время прихода Иванова. Время исчисляется в минутах, начиная с 12.00 часов

. Точки (х,у) заполняют квадрат стороной 60. Встреча состоится, если (пришедший первым ждет не более 20 минут). Неравенство с модулем заменим двойным неравенством

, .

Решения неравенства - это точки нижней полуплоскости, ограниченной прямой .

Совокупность решений неравенства образует верхнюю полуплоскость с границей .

Решения системы неравенств – это точки области, полученной пересечением полуплоскостей. Т.к. , , то точки, когда состоится встреча, заполняют фигуру А (показана штриховкой). Используем геометрическое определение вероятности:

.

Площадь фигуры . Здесь - площадь не заштрихованных треугольников.

Пример 3. Электрическая цепь прибора составлена по схеме, приведенной на рисунке. Отказы элементов являются независимыми и совоку4пными событиями. Известна надежность p_k k- го элемента p₁=p₂=0.7; p₃=0.8; p₄=0.9. Найти вероятность надежности схемы P(A).

Решение. Разобьем схему на блоки, состоящие из последовательных соединений. Блок I состоит из элемента 1 .

Блок II состоит из параллельного соединения элементов 2 и 3.

Блок III – из элемента 4.

Вероятность того, что схема работает, равна P(A)=P_I·P_II·P_III.

P_I – вероятность того, что I блок исправен.

P_II·- вероятность того, что II блок исправен.

P_III - вероятность того, что III блок исправен.

P_I =p₁

Вероятность того, что II блок исправен:

Вероятность того, что III блок исправен:

Искомая вероятность что цепь сработает:

Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается ещё 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Решение. Рассмотрим предположения (гипотезы):

Н₁={на первую игру выбирают два новых мяча}.

Н₂={на первую игру выбирают один новый мяч, и один игранный}.

Н₃={на первую игру выбирают два игранных мяча}.

Вероятности гипотез соответственно равны:

, , .

Проверка: - выполняется: .

Пусть, событие А = {вторая игра проводится двумя новыми мячами}. Тогда условные вероятности следующие:

, ,

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

Пример 5. а) На грядке высажено 8 луковиц определенного сорта тюльпанов. Всхожесть луковиц 80%. Какова вероятность, что взойдет не менее 5, но не более 7 растений.

Решение. Событие А = {взойдет отдельный тюльпан}.

Событие В = {взойдет от 5 до 7 растений}.

Пусть событие В₅={взойдет ровно 5 тюльпанов}, событие В₆= {взойдет ровно 6 тюльпанов}, событие В₇ ={взойдет ровно 7 тюльпанов}.

Вероятность события , состоящего в том, что событие А произойдет ровно k раз при n независимых испытаниях, рассчитывается по формуле Бернулли:

, где .

В частности,

,

,

.

В данном случае имеем . По теореме сложения для несовместных событий получаем

.

в) Посажено 100 луковиц. Вероятность всхода 80%. Какова вероятность, что взойдут не менее 75, но не более 90.

Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли. Если число испытаний n велико, то используют интегральную теорему Лапласа:

, где - функция Лапласа, значение которой берем из таблицы.

, .

По условию n=100, p=0,8, q=0,2, k₁=75, k₂=90. Следовательно,

Имеем:

(Здесь учтено, что функция Лапласа нечетная ).

Пример 6. Составить закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) Х - оценки, полученной на экзамене наугад выбранным студентом. Известно, что в группе из 20 человек 2 студента получили оценку – «2», 6 студентов – «3», 10 студентов – «4» и 2 студента – «5». Построить график функции распределения. Вычислить числовые характеристики

Решение: ДСВ Х -отметка студента, которая может принять значения 2; 3; 4 или 5. Вероятность события {X=2} равна P(X=2)=p₁=2/20, (число двоек - 2, а общее число студентов 20). Вероятности других возможных значений равны:

, , .

Следовательно, закон распределения ДСВ имеет вид:

	2	3	4	5
	0,1	0,3	0,5	0,1

Контроль: 0,1+0,3+0,5+0,1=1

Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Функция распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид:

Пример 7. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, определяемое плотностью при , при . Найти вероятность того, что за время t=25 часов элемент не откажет, если известно что .

Решение. - непрерывная случайная величина-время безотказной работы устройства, которое работает с момента х=0, а в момент х происходит отказ. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с функцией распределения .

- это вероятность отказа элемента за время длительностью .

Вероятность безотказной работы за время длительностью – это вероятность противоположного события. Эта функция называется функцией надежности: . Вероятность безотказной работы за х=t=25 часов равна

Пример 8. Из группы населения случайным образом отобрано 10 человек и собраны их доходы за истекший год в тысячах рублей х₁, х₂, х₃…х_10. Найти выборочное среднее исправленную выборочную дисперсию. Считая распределение доходов в группе нормальным и, применяя в качестве его параметров выборочные характеристики, определить, какой процент населения имеет годовой доход, превышающий 100 тыс. рублей.

х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10
80	110	130	100	70	90	150	60	90	70

Решение.

Найдем выборочную среднюю:

Вычислим выборочную дисперсию .

, n=10.

Исправленная выборочная дисперсия:

.

.

Чтобы найти процент группы населения, которая имеет доход, превышающий 100 тыс. руб. используем формулу попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток:

, где – функция Лапласа.

В данном случае принимаем следующие значения параметров:

= 100 тыс.руб., тыс.руб., тыс. руб., тыс. руб. (нет ограничений сверху). Имеем:

По таблице находим: , следовательно, .