2.1. Электрический колебательный контур.

2.2. Свободные электрические колебания

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электричес­кие колебания, служит простейший колебательный контур (рис. 1), состоящий из конден­сатора емкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивностью L. При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и тока в катушке. Переменное электро­магнитное поле распространяется в пространстве со скоростью, равной скорости света. Поэто­му, если линейные размеры ℓ контура не слишком велики (ℓ << c/ν, где с = 3•108м/с - скорость света в вакууме, ν - частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока I во всех частях контура одинакова.

Здесь q и φ1–φ2 =- q/C - заряд конденсатора и разность потенциалов его обкладок в произвольный момент времени t; R - электрическое сопротивление колебательного кон­тура, т. е. участка цепи 1- L - 2; ξc= -L(dI/dt)-ЭДС самоиндукции в катушке. Из закона сохранения электрического заряда следует, что сила квазистационарного тока в контуре I=dq/dt. Свободные электрические колебания в колебательном контуре являются гармони­ческими, если его электрическое сопротивление R = 0:

(2.1)

Циклическая частота ω и период Т этих колебаний удовлетворяют формуле Томсона:

ω = 1/√LC, (2.2) , T=2π√C. (2.3)

Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются по законам: q = q₀sin(ωt + φ₀),

I=I0cos(ωt + φ0) = I0sin(ωt + φ0 + π/2), (2.4)

где q0 - амплитуда заряда конденсатора; I0=ωq0 = q0 /√LC - амплитуда силы тока; φ0 - начальная фаза колебаний заряда конденсатора. Ток в контуре опережает по фазе заряд конденсатора на π/2. Разность потенциалов обкладок конденсатора u = φ2- φ1 также изменяется по гармоническому закону и совпадает по фазе с за­рядом q:

u = U0sin(ωt + φ0),

где U0 = q0/C - амплитуда разности потенциалов. Амплитуда тока

(2.5)

Рис.2.1

При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии W_e электрического поля конденсатора в энергию W_m магнитного поля катушки индуктивности и наоборот:

Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто называют электромагнитными колебаниями в контуре. Значения W_e и W_m изменяются при гармонических электромагнитных колебаниях в пре­делах от 0 до максимальных значений, соответственно равных q_o²/(2С) и LI _o²/2, причем, как видно из 27.27), q_o²/(2С)=LI_o²/2. Колебания W_e и W_m сдвинуты по фазе: в те моменты време­ни, когда W_e = 0, W_m = (W_m)_max= LI_o²/2, наоборот, когда W_m= 0,W_е = W_e = (W_е)_max= =q_o²/(2С). Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени:

ЛЕКЦИЯ 3. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ

КОЛЕБАНИЯ

3.1. Затухающие колебания

3.2. Вынужденные колебания

Если свободные механические или электромагнитные колебания тела происходят в среде без сопротивления, то они называются собственными колебаниями, а их частота - частотой собственных колебаний. При наличии сопротивления период колебаний увеличивается, а если сопротивление достаточно велико, движение перестает быть периодическим, и колебания постепенно затухают.

Затухающими называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Затухание свободных гармонических колебаний обусловлено действием сил трения и других сил сопротивления. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний системы имеет вид:

d²s/dt² + 2δds/dt +ω₀²s = 0 (3.1)

где s - колеблющаяся величина; δ = const - коэффициент затухания; ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы (при δ = 0).

Амплитуда затухающих колебаний при малых затуханиях убывает с течением времени по закону: A(t) = A₀e^-δt , где A₀ -начальная амплитуда колебаний в момент времени t = 0, определяемая начальным запасом полной энергии колеблющегося тела. Если сила трения пропорциональна скорости колебаний v, т.е. F_тр = -rv, где r - коэффициент трения, то δ = r/2m, m - масса тела. Решение уравнения (3.1) при малых затуханиях

s = A₀e^-δt cos(ωt + φ) (3.2)

где ω = √ω₀² + δ² - циклическая частота затухающих колебаний. Она показывает, сколько раз за π секунд колеблющееся тело проходит через положение равновесия. Промежуток времени τ = 1/δ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются значения физических величин, характеризующих такие колебания. Поэтому к затухающим колебаниям неприменимы понятия периода и частоты, введенные для периодических колебаний.

Условным периодом Т затухающих колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными состояниями колеблющейся системы, в которых физические величины, характеризующие колебания, принимают аналогичные значения, изменяясь в одном и том же направлении, убывая или возрастая. Период затухающих колебаний вычисляется по формуле:

Т = 2π / √ ω₀² – δ² . (3.3)

При большом трении (δ>ω₀) не происходит затухающих колебаний. Система, выведенная из положения равновесия какими-либо внешними силами, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия апериодически. При этом запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия расходуется на преодоление трения.

Если A(t) и A(t +T) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: A(t) / A(t +T) = e^δT называется декрементом затухания, а его логарифм θ = ln A(t) / A(t +T) = δT = T/τ = 1/N называется логарифми-ческим декрементом затухания и используется для характе-ристики колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии W(t) колебаний системы в момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t до t+T:

Q = 2π W(t) / W(t) – W(t+T).

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды A(t), то:

Q = 2π A² (t) /( A² (t) - A² (t+T)).

При малых значениях логарифмического декремента затухания (θ <<1): Q = π/θ = πN = ω₀ /2δ.

Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени. Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Сила F(t), вызывающая вынужденные колебания, называется возмущающей (вынуждающей) силой.

Здесь мы рассмотрим вынужденные колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Если возмущающая сила F(t) изменяется гармонически по закону F(t) = F₀ cosωt, где F₀ – амплитуда возмущающей силы, а ω – ее циклическая частота, то в системе, на которую действует такая сила, могут установиться вынужденные колебания, которые являются также гармоническими, происходящие с циклической частотой, равной частоте ω возмущающей силы, и описываются уравнением:

x = Acos(ωt + φ₁).

Здесь A - амплитуда вынужденных колебаний физической величины (например, смещения), φ₁ - разность фаз между вынужденными колебаниями x и силой F(t).

Амплитуда A установившихся вынужденных колебаний определяется по формуле:

A = F₀ /( m √( ω₀² – ω² ) + 4 δ² ω² ) ,

где m - масса колеблющейся системы.

Если частота ω вынуждающей силы стремится к частоте ω₀ собственных колебаний осциллятора, то амплитуда A вынужденных колебаний, очевидно, неограниченно возрастает (см. рис.3.1). Это явление называется резонансом. При резонансном значении ω = ω₀ вынуждающей силы результирующие колебания растут неограниченно - их амплитуда растет как линейная функция времени.

Рис. 3.1.

Явление резонанса играет важную роль в приложениях. Так, конструкции зданий, мостов, плотин, двигателей, механических передач и т. д. подбирают так, чтобы собственные их частоты лежали далеко от частот характерных внешних воздействий. В противном случае возможно разрушение.

Легко видеть, что вынужденные колебания линейного осциллятора, вызванные внешней силой очень большой частоты, имеют малую амплитуду (рис.3.1). Это свойство колебательных систем называется фильтром высоких частот (осциллятор почти "не пропускает" высокочастотные возмущения).

ЛЕКЦИЯ 4. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

4.1.Получение переменного ток

4.2. Амплитудные и действующие значения тока и

напряжения

4.3. Законы Ома для цепи переменного тока

4.4. Мощность переменного тока

4.5. Свободные затухающие электромагнитные

колебания

Чтобы вызвать вынужденные, электромагнитные колебания, нужно в колебательный контур, включить переменную ЭДС. В этом случае переменное напряжение в контуре изменяется по закону

U = U₀ sin ωt. (4.1)

Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний запишется в виде:

(4.2)

Уравнение (4.2) аналогично уравнению вынужденных механических колебаний. Частное решение уравнения (4.2) имеет вид:

Q = Q₀ sin (ωt-φ) (4.3) (4.4)

Подстановка значений ω₀² и δ дает

(4.5)

(4.6)

Для нахождения силы тока в контуре при установившихся колебаниях продифференцируем по времени уравнение (4.3): (4.7)

Между силой тока и напряжением возникает сдвиг фаз π/2. Амплитуда силы тока І₀ в контуре зависит от R и соотношения между L, С и ω. При постоянном активном сопротивлении R контура, если ωL = 1/ωС или ω = 1/√ LС

Если поместить между полюсами магнита обмотку, содержащую N витков, каждый из которых представляет отдельную рамку, то в каждом витке будет генерироваться вычисленная выше ЭДС и полная ЭДС будет равна

(4.8)

Генерируемое во внешней цепи напряжение будет иметь вид:

, (4.9)

а ток в цепи по закону Ома будет равен:

(4.10)

Произвольное значение I определяет начальную фазу напряжения или тока (произвол в выборе фазы соответствует произволу в выборе начального положения рамки). Если в цепи действует только активное сопротивление R , то фазы напряжения и тока совпадают, однако в реальных цепях это не так.

Мощность в цепи с активным сопротивлением. Мощность в цепи тока, где имеется только активное сопротивление R , равна N = I ² R . Так как ток быстро меняется со временем, то и мощность является функцией времени. Удобно пользоваться средней мощностью за какой-то большой промежуток времени по сравнению с периодом колебаний тока в цепи. Для этого нужно знать среднюю мощность за один период, т.е. количество энергии, поступающей в цепь за один период, деленное на период.

Пусть I = I _m cos( w t) (в предыдущей формуле фаза тока выбрана равной j=p/2 ). Тогда

При усреднении за период второе слагаемое обращается в нуль, так что средняя мощность оказывается равной:

, (4.11)

где введено среднее (действующее) значение силы тока.

Аналогично можно ввести и действующее значение напряжения :

Понятия действующих значений тока и напряжения в цепи переменного тока полезны на практике, так как именно они регистрируются амперметрами и вольтметрами.

ЛЕКЦИЯ 5. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

5.1. Упругая среда и процесс распространения колеба-

нии в ней

5.2. Основные виды и характеристики волн

5.3. уравнение синусоидальной волны

5.4. Скорость распространения волн различных средах

В упругой среде между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформации этой среды. Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Эти колебания передаются от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной. Основным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества.

Механические (или упругие) волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной. Волны в упругом стержне или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию.

Продольные механические волны могут распространяться в любых средах - твердых, жидких и газообразных. Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Смещение y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:

где - так называемое волновое число, ω = 2πf - круговая частота, v = ω/k – фазовая скорость волны.

Групповой скоростью u называется скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Ее величина: u = dx/dt = dω/dk. Связь между групповой и фазовой скоростями: u = v-λ dv/dλ.

На рис. 5.1 изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: t и t + Δt. За время Δt волна переместилась вдоль оси OX на расстояние υΔt. Волны, все точки которых перемещаются с одной и той же скоростью, принято называть бегущими (в отличие от стоячих волн, см. далее).

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками на оси OX, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за период T, следовательно, λ=υT, где υ – скорость распространения волны.

Рис.5.1. «Моментальные фотографии» бегущесинусоидальной волны в момент времени t и. t + Δt

Для любой выбранной точки на графике волнового процесса (например, для точки A на рис. 5.1) выражение ωt - kx не изменяется по величине. С течением времени t изменяется и координата x этой точки. Через промежуток времени Δt точка A переместится по оси OX на некоторое расстояние Δx = υΔt. Следовательно:

ωt – kx = ω(t + Δt) – k(x + Δx) = const  или  ωΔt = kΔx.

Отсюда следует:

Таким образом, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью - во времени и пространстве. Временной период равен периоду колебаний T частиц среды, прос-транственный период равен длине волны λ. Волновое число является пространственным аналогом круговой частоты: Заметим, что уравнение описывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью  .

В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой ω. Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме.

При распространении бегущей волны возникает поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.

При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия B входит модуль Юнга E (см. §1.12):

ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ