Математическая модель определения жесткости технологической системы при токарной обработке.

Влияние составляющих усилий резания P_z и P_y на точность обработки можно заранее оценить расчетным методом. Поскольку направления сил P_z и P_y перпендикулярны друг другу, то они по разному будут оказывать влияние на деформацию элементов станка и деталь. Считается, что сила P_y, которая на порядок меньше составляющего усилия резания P_z , то есть примерно равна P_y =(0,12.. 0,18)P_z), оказывает доминирующее влияние на отжатие заготовки, так как она расположена перпендикулярно детали в горизонтальной плоскости. Однако необходимо учитывать влияние обоих сил.

Для начала, предположим, что под воздействием составляющей силы резания P_z , деталь сместилась в вертикальной плоскости за счет податливости заготовки из положения 1 в положение 2 на величину y_z (Рис. 3 .1). Это вызовет увеличение диаметра детали на значение Д=Д_о-Д_н, где Д_н - диаметр на который первоначально настроен резец; Д_о - диаметр заготовки, увеличенный за счет отжатия под действием усилия P_z .

Из анализа схемы представленной на Рис. 3 .1 находим изменение диаметра заготовки при ее деформации в вертикальном направлении под воздействием усилия P_z

(3.0)

;

Рис. 3.1 Схема, поясняющая возниРис. 3.2кновение погрешностей за счет отжатия заготовки в вертикальной плоскости под действием силы P_z.

Деформации заготовки у_збz и у_збу под воздействием составляющих усилий P_z и P_y направлены друг по отношению к другу взаимно перпендикулярно, тем не менее, рассчитываются по одинаковым формулам с учетом всех составляющих деформаций элементов технологической системы.

Установим математическую зависимость для определения суммарного отжатия заготовки под воздействием сил резания как функции от перемещения резца по длине z обрабатываемой детали. Начало координат ZY совместим с левым торцом обрабатываемой детали. Вначале обработки вала при перемещении резца в направлении от задней бабки к передней бабке, возникающая сила резания P_y или P_z, вызывает упругое отжатие пиноли задней бабки на величину y_збу или y_збz (см. Рис. 3 .3).

Одновременно происходит упругое отжатие суппорта в направлении оси у вместе с резцом на величину y_р. Отжатие суппорта в направлении оси z предполагается бесконечно большим. Величина отжатия суппорта будет почти постоянной на всем протяжении обработки, так как глубина резания, изменяемая в связи с отжатием детали, является незначительной по сравнению с назначенной глубиной резания, поэтому не будет существенно меняться и усилие Р_у.( P_z)

Рис. 3.3 Схема образования погрешностей вызываемых упругими отжатиями под действием усилия P_y.

Жесткость задней бабки и суппорта имеют разные численные значения, то есть у_збу_р где. у_зб – деформация пиноли задней бабки; у_р – деформация суппорта. За счет этих отжатий, под воздействием составляющей усилия резания Р_у, происходит увеличение диаметра обработки по сравнению с настроечным размером на величину

(3.0)

Д_у=2(у_збу + у_)

Значение величин у_збу и у_р рассчитать аналитически не представляется возможным в связи с большим количеством факторов, влияющих на процесс отжатия. К ним относятся состояние поверхностей соприкасающихся деталей, составляющих технологическую систему, значений зазоров между соприкасающимися деталями, имеющими случайный характер и т. п., поэтому указанные величины могут быть определены только экспериментально для каждого конкретного станка.

При дальнейшей обработке, в связи с перемещением резца вдоль заготовки, а, следовательно, перемещения и силы резания в направлении от правого торца вала к патрону, ее влияние на величину деформации задней бабки будет уменьшаться по линейной зависимости. Обозначив систему координат Z Y, как изображено на рис. 2 будем иметь следующее выражение для деформации задней бабки от перемещения усилия резания по координате z:

(3.0)

где L - длина обрабатываемого вала;

z – текущая координата положения вершины резца, отсчитывая от левого торца детали.

Аналогично вычисляется деформация у_збz в вертикальной плоскости, вызванная силой P_z, входящая в формулу (4).

(3.0)

Все сказанное имеет место и для деформации передней бабки. Поэтому зависимость деформации передней бабки от усилия резания P_y и P_z, перемещающегося по направлению оси z имеет вид аналогичный зависимости (6), а именно:

(3.0)

(3.0)

На величину суммарного отжатия передней и задней бабки накладывается деформация заготовки в зависимости от положения сечения, к которому приложена сила резания, равная:

(3.0)

(3.0)

где J_в0.05Д_в⁴ – момент инерции сечения сплошного вала (для кольцевого сечения J_к0.05Д_в⁴(1 - ⁴), где = d/ Д_в; d – внутренний диаметр кольцевого сечения вала.), Е – модуль упругости обрабатываемого материала Е=2.1∙10⁵ МПа.

В результате суммарные изменение диаметра детали в сечении приложения нагрузки, соответствующей координате z будет равно:

(3.0)

Подставив в эту формулу полученные ранее зависимости будем иметь:

(3.0)

где деформация у_збz заготовки в направлении приложения силы резания P_z равна

(3.0)

Максимальный прогиб детали не будет находиться посредине пролета вала, поскольку суммарная кривая прогибов вала не является симметричной из-за того, что жесткость задней бабки меньше чем жесткость передней бабки.

В приведенных формулах значения жесткости задней бабки j_зб, передней бабки j_пб, суппорта j_с определяются экспериментально (или задается при дальнейших расчетах преподавателем), а усилие Р_у и Р_z вычисляется по формулам [1]:

(3.0)

Р_у=10С_рyS^Ypyt^XpyHBⁿK

Р_z=10С_рzS^Ypzt^XpzHBⁿK

Коэффициенты, входящие в данную формулу выбираются из автоматизированного справочника ( приложение к MathCAD).

В литературных источниках утверждается, что кривая, описываемая уравнением ( 3 .0) может быть выпуклой или вогнутой. Если жесткость элементов станка достаточно велика, а жесткость заготовки мала (обработка длинного и тонкого вала) то отжатие у_пб и у_зб малы, а у_zy – значительно. В результате этого заготовка станет бочкообразной (выпуклой), и, наоборот, при достаточно жесткой заготовке с малой величиной прогиба форма заготовки получится «корсетообразной», с наименьшим значением диаметра в средней части заготовки.

Разница между максимальным диаметром обработки и настроечным диаметром вала определяет точность получаемого размера. Определить координату z_см соответствующую максимальному прогибу вала можно двумя способами: графическим, при помощи построения кривой по формуле (13) или аналитически. Для определения координаты z_см соответствующей максимальному прогибу вала аналитическим методом найдем производную от выражения ( 3 .0) по z, пренебрегая влиянием на величину прогиба вала в вертикальной плоскости:

(3.0)

Написанное уравнение при условии является кубическим, имеющим вид:

(3.0)

где:

Эту же производную можно найти с помощью соответствующих расчетных процедур при использовании ЭВМ и программного обеспечения MathCAD.

Подставив найденное значение прогиба вала в формулу для определения суммарного отжатия вала ( 3 .0), получим максимальное отклонение допуска на данной операции без учета других факторов, влияющих на точность обработки (размерный износ, температурные деформации, неоднородность материала заготовки, погрешность базирования, погрешность установки и т.п.).

Полученная математическая модель позволяет решить вопрос о рациональном управлении процессом обработки валов на станках с ЧПУ по критерию обеспечения заданной точности.

Очевидно, изменяемым управляющим параметром, минимизирующим отжатие вала, является подача, поскольку глубина и скорость резания являются постоянными величинами и выбираются до начала обработки, исходя из максимальной производительности и величины заданного припуска. Так как при перемещении резца от торца заготовки до ее середины прогиб вала увеличивается, то, чтобы остаться в заданных пределах допуска необходимо пропорционально уменьшать подачу, что равносильно уменьшению силы действующей на вал.

Поэтому, задавшись предельно допустимым отжатием детали [Д_пр], независимо от положения резца по длине вала и, преобразовав формулу (13) относительно подачи получим функциональные зависимости для их определения

(3.0)