2. Элементарные математические функции

Из многообразия так называемых. элементарных встроенных математических функций отметим лишь некоторые наиболее известные или оригинальные. Аргументами большинства из приведенных ниже функций являются не только скаляры, но и массивы.

pi = 4*atan(1)=imag(log(-1))=3.1415926535897..;

abs(X) - абсолютная величина: для комплексного числа a+bi его модуль равен :

abs(3-4i)=5 , abs(-13)=13;

angle(X) - аргумент комплексного числа (из диапазона [-]): комплексное X=a+bi представимо как r·e^i, где a = r cos, b = r sin :

>> angle(3+4i) ans = 0.9273 ;

>> angle(1) ans = 0 ;

>> angle(4+3i) ans = 0.6435 ;

real(X), imag(X) - действительная и мнимая часть числа;

conj(X) - комплексно-сопряженное:

>>conj(2+3i) ans = 2.0000 - 3.0000i ;

ceil(X), fix(X), floor(X), round(X) - округления (до ближайшего целого, не меньшего Х; отбрасывание дробной части; до ближайшего целого, не большего Х; до ближайшего целого);

mod(X,Y) - остаток от деления X на Y;

sign(X) - знак числа (для комплексных X / |X|);

gcd(m,n) -наибольший общий делитель для целых чисел; если использовать оператор [g,c,d]=gcd(m,n), то дает указанный делитель и множители c,d такие , что g==m*c+n*d :

>> f=gcd(18,27)

f = 9

>> [g,c,d]=gcd(18,27)

g = 9 c = -1 d = 1 ;

lcm(m,n) - наименьшее общее кратное:

>> lcm(34,51)

ans = 102 ;

rat(X) , rat (X,k) - представление цепной дробью с точностью |X|·10^-k/2 (по умолчанию |X|·10^-6 ):

>> rat(12.5)

ans =13 + 1/(-2)

>>rat(12.546)

ans =13 + 1/(-2 + 1/(-5 + 1/(15))) ;

rats(X), rats(X,k) - представление отношением целых чисел:

>> rats(12.546) ans = 2045/163 ;

sqrt(X) - квадратный корень :

>> sqrt(5) ans = 2.2361

>> sqrt(3+4i) ans = 2.0000 + 1.0000i;

exp(X) - экспонента e^x (e^x+iy= e^x(cos y+i siny)) :

>> exp(1) ans = 2.7183

>> exp(2+i) ans = 3.9923 + 6.2177i ;

pow2(X) - двоичная экспонента 2^x;

log(X) - натуральный логарифм;

log2(X), log10(X) -логарифм по основанию 2 и основанию 10;

sin(X), cos(X), tan(X), cot(X), csc(X), sec(X) - тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс, секанс):

sin(x+iy)=sin(x) ch(y) +i cos(x) sh(y); cos(x+iy)=cos(x) ch(y) -i sin(x) sh(y), tg (X)= sin(X)/ cos(X) ; ctg(X)=cos(X)/sin(X); cosec(X)=1/sin(X); sec(X)=1/ cos(X) :

>> sin(pi/2) ans= 1;

>> sin(3+4i) ans = 3.8537 -27.0168i;

asin(X) acos(X) atan(X) acot(X) acsc(X) asec(X) - обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т.д.):

>> asin(1/sqrt(2)) ans = 0.7854 ;

>> asin(3+4i) ans = 0.6340 + 2.3055i;

sinh(X) cosh(X) tanh(X) coth(X) csch(X) sech(X) - гиперболические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс, косеканс, секанс);

функции преобразования координат:

из декартовых (X,Y) в полярные (r,): r=(X²+Y²)^1/2, =Arctg(Y/X) - [,r]=cart2pol(X,Y);

из декартовой системы (X,Y,Z) в цилиндрическую (r,,Z) - [,r,Z]=cart2pol(X,Y,Z) ;

из декартовой системы в сферическую (r,) : r=(X²+Y²+Z²)^1/2, =Arctg(Z/ (X²+Y²)^1/2), =Arctg(Y,X) - [,r]=cart2sph(X,Y,Z);

из полярной и цилиндрической в декартову (pol2cart):

X=r·cos(j), Y=r·sin(j) ;

из сферической в декартову (sph2cart):

Z=r·sin(j), X=r·cos(j)·cos(q), X=r·cos(j)·sin (q)

(эти функции незаменимы при графических отображениях результатов анализа, хотя многое из их графики уже предлагается среди готовых библиотечных средств);

специальные функции (цилиндрические функции Бесселя, Неймана, Ханкеля; функции Эйри, эллиптические функции Якоби и эллиптические интегралы, интегральная показательная функция, присоединенные функции Лежандра и много других функций, полезных при изучении физических процессов);

функции линейной алгебры, аппроксимации данных, численного интегрирования, поиска корней уравнений, обслуживания графики, обработки дат, множеств и др.

Для того, чтобы познакомиться с поведением какой-либо функции, можно поступить по аналогии с примитивным примером:

>> t=-pi:0.01:pi; % значения аргумента от -до  с шагом 0.01 (без вывода на экран);

>> e=sin(t); % массив значений функции;

>> plot(t,e) % построение графика функции .

Интерактивный графический калькулятор — funtool.

В командной строке MATLAB набрать функцию funtool и запустить на выполнение (Enter). Самостоятельно проделать возможные построения и вычисления: графики стандартных функций, дифференцирование и интегрирование функциональных выражений, обращение функций, сложение двух функций и т.д.