§ 2. Задание линейных отображений с помощью образов базисных векторов

Теорема

Пусть U(P) и V(P) — векторные пространства над одним и тем же полем Р;

— базис U(P), — произвольные векторы из V(P).

Тогда существует единственное линейное отображение удовлетворяющее условиям (1)

Доказательство .

Отображение определим равенством

для любых

Отображение удовлетворяет условиям (1).

Например, при получаем и т.д.

Докажем линейность отображения .

По определению отображения

= таким образом, — линейное отображение.

Предположим, что : U V — это линейное отображение, удовлетворяющее условиям

Для любого вектора

то есть

Следствие 1. Пусть U(P), V(P) — векторные пространства, — базис U; и — линейные отображения U в V, такие, что Тогда .

Следствие 2. Пусть — базис V(P), — произвольные векторы из V. Существует единственный линейный оператор удовлетворяющий условиям (1).

§ 3. Задание линейных операторов матрицами

Пусть V(P) — n-мерное векторное пространство. — какой-либо координатный базис V(P), — линейный оператор пространства V. Представим в виде линейных комбинаций базисных векторов.

Из координатных строк составим матрицу А, располагая координаты в i-тый столбец.

Определение

Матрица А, i-тый столбец которой есть координатный столбец вектора относительно базиса (1), называется матрицей линейного оператора в базисе (1).

Так как вектор пространства однозначно выражается через координатный базис, то матрица А линейного оператора относительно этого базиса определяется однозначно.

Обратно, пусть задана произвольная квадратная матрица А n-ного порядка над Р. Принимая i-тый столбец матрицы за координаты вектора в базисе (1), получим:

Существует единственный линейный оператор пространства V(P), такой, что Таким образом, с заданием координатного базиса в пространстве V(P) устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством линейных операторов пространства V(P) и множеством квадратных матриц n-ного порядка над P.

Задача. Доказать, что существует единственный линейный оператор, переводящий векторы в соответственно. Найти его матрицу в единичном базисе.

Решение. Проверим, что линейно независимы. Для этого составим матрицу из векторов-строк приведем ее к ступенчатому виду, определим ранг.

то есть линейно независимы, они составляют базис трехмерного арифметического пространства, поэтому существует единственный линейный оператор пространства такой, что

Выразим через

Найдем .

= 2b₁ - 5b₂ - 4b₃ = 2(1, 1, 1) - 5(1, 1, -1) - 4(2, 1, 2) = (-11, -7, -1) =

= -11e₁ - 7e₂ - e₃.

Составляем матрицу оператора в единичном базисе, располагая координаты в единичном базисе в i-ый столбец матрицы; i=1, 2, 3.

§ 4. Связь между координатными столбцами векторов х и

Пусть — базис . Возьмем любой

Как найти координаты если известны координаты вектора х и матрица А оператора в базисе ?

Так как координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, то

Запишем полученную систему в матричной форме:

, то есть .