2. Приклади характерних задач з розв’язанням

Задача 1. Показати, що для квантового КРГ середня енергія системи однозначно виражається через статистичну суму Z:

.

Розв’язання. З умови нормування для розподілу маємо

,

звідки статистична сума становить

. (1)

Продиференціюємо цю рівність за :

.

Оскільки середнє значення енергії за визначенням має вигляд

, (2)

порівнюючи (2) з (1), остаточно одержимо

. (3)

Задача 2. Навести графіки розподілу Фермі–Дірака для :

а) за станами;

б) за енергіями.

Розв’язання. Розподіл середнього числа фермі-частинок за станами має вигляд

. (1)

Г

1

рафік цієї залежності можна зобразити для двох значень параметра : та деякого .

Т

0

ут  стан, енергія якого дорівнює хімічному потенціалу при (енергія Фермі). Відповідний розподіл за енергіями запишемо так:

, (2)

де  розподіл числа станів за енергіями, а  незалежна від енергії ε стала. Отже, графік розподілу (2) матиме вигляд:

Задача 3. Показати, що хімічний потенціал бозе-газу, залишаючись від’ємним, монотонно зменшується з ростом температури.

Розв’язання. Повне число N частинок бозе-газу в об’ємі V можна записати у вигляді

, (1)

де ;  спін частинок.

Продиференціюємо (1) за при сталому значенні N. Одержимо

,

звідки

.

Знак правої частини цієї рівності визначається знаком різниці . Тому при від’ємних маємо , тобто, залишаючись від’ємним, хімічний потенціал з ростом температури зменшується.

Задача 4. Показати, що для квантових нерелятивістських ідеальних газів справедлива формула .

Розв’язання. Середня енергія E квантового ідеального газу дорівнює

, (1)

де для бозе-частинок і для фермі-частинок.

З іншого боку, великий термодинамічний потенціал , пов’язаний з великою статистичною сумою Z співвідношенням , тобто

. (2)

З великого квантового канонічного розподілу маємо

,

де n_i  число частинок в і-му квантовому стані з енергією ε_i; .

Для бозе-газу (μ від’ємне)

, (3)

для фермі-газу

. (4)

Праві частини рівностей (3) та (4) можна записати як єдиний вираз , так що (2) матиме вигляд

. (5)

Суму за станами в (5) можна замінити інтегруванням за енергією ε, спочатку домноживши праву частину на розподіл станів за енергіями, що дає

, (6)

де тепер вже .

Інтегруючи (6) за частинами , одержимо

. (7)

Порівнюючи (7) з (1), остаточно маємо

, (8)

що, до речі, справедливо і для класичних ідеальних газів.

Задача 5. Визначити тиск в електронному газі при Т=0 К.

Розв’язання. З формули (1) попередньої задачі при матимемо (для електронів )

, (1)

де  максимальна енергія електронів при 0 К. Порівнюючи (1) з формулою (8) попередньої задачі, запишемо шуканий тиск Р:

. (2)

Величина дорівнює хімічному потенціалу при 0 К і становить

, (3)

де n  густина частинок. Підставляючи (3) у (2) (з урахуванням, що для електронів ), остаточно одержимо

.

Задача 6. Знайти вираз для температури виродження ультрарелятивістського електронного газу.

Розв’язання. Число квантових станів, яке припадає на об’єм V та проміжок імпульсу dP фазового простору у перерахуванні на одну частинку дорівнює

;

в нашому випадку  спін електрона. Для ультрарелятивістського газу , що дає

.

Повне число електронів N за розподілом Фермі–Дірака запишемо у вигляді

. (1)

Газ є невиродженим за умови , що дозволяє знехтувати одиницею в знаменнику (1). Отже,

,

звідки після інтегрування маємо

,

де  густина частинок.

Температура виродження T₀ визначається з рівності

,

що остаточно дає

.

Задача 7. При якій густині протонів з температурою Т=10⁶ К можна користуватися класичною статистикою?

Розв’язання. Вважатимемо, що класичною статистикою можна користуватися, коли , тобто температура виродження дорівнює 10⁵ К. Температура виродження газу нерелятивістських частинок має вигляд

,

звідки маємо шукану густину n:

.

Задача 8. Чому дорівнює число електронів з кінетичними енергіями від 2,0 до 2,1 еВ у 1 см³ срібла при Т = 100 К?

Розв’язання. Число електронів в досить вузькому інтервалі енергій можна знайти за формулою

, (1)

де значення береться з цього ж інтервалу; для електронів .

При K електронний газ в металі є сильно виродженим, і його хімічний потенціал μ не дуже відрізняється від свого значення при К. При цьому можна вирахувати (зробіть самостійно), що в нашому випадку значення дорівнює 5,4·10^-19 Дж, тобто показник експоненти в (1) становить

і останньою можна знехтувати у порівнянні з одиницею.

Таким чином, остаточно знаходимо

Задача 9. Одержати розподіл Фермі–Дірака за величиною швидкості для нерелятивістських електронів. Побудувати графік цього розподілу при Т = 0 К.

Розв’язання. Розподіл станів за імпульсами для нерелятивістського електронного газу маємо у вигляді

.

Оскільки , знаходимо аналогічний розподіл за швидкостями:

. (1)

Домноживши (1) на розподіл Фермі–Дірака середнього числа частинок за станами (беручи до уваги, що енергія k-го рівня ), одержимо шуканий розподіл за швидкостями:

. (2)

При К (2) набирає вигляду:

, (3)

де  швидкість, яка відповідає енергії фермі .

Отже, графік (3) маємо у вигляді:

Задача 10. Визначити повну енергію та теплоємність бозе-газу при температурі, що менша за його температуру конденсації .

Розв’язання. При можна знехтувати хімічним потенціалом бозе-газу. Тому повну енергію останнього можна записати як

. (1)

Заміна призводить (1) до вигляду

. (2)

Числове значення a інтеграла в (2) становить приблизно .

Теплоємність C_V знаходимо з (2):