1.2. Завдання на лабораторну роботу

Згенерувати випадковий сигнал по співвідношенню (див. нижче) відповідно варіантом по таблиці (Додаток 1). Для згенерованого сигналу виконати процедуру фільтрації на основі нерекурсивного фільтру низької частоти відповідно варіанту по таблиці (Додаток 1). Розробити відповідну програму і вивести отримані значення і відповідні графіки.

Генератор стаціонарного випадкового сигналу представлений як:

- спектральні складові сигналу з частотою , що змінюється від , - верхня частотна складова; кількість складових від 6 до 10.  

- амплітуда;

- фаза.

Далі отриманий випадковий сигнал представляється послідовністю дискретних відліків:

вибирається як:

1.3. Зміст звіту

Звіт по лабораторній роботі повинен містити такі матеріали:

1. Титульний лист.

2. Основні теоретичні відомості, необхідні для виконання лабораторної роботи.

3. Умови завдання для варіанту бригади.

4. Лістинг програми із заданими умовами завдання.

5. Результати виконання кожної програми.

6. Висновки щодо виконання лабораторної роботи.

1.4. Контрольні питання

1. Датчики, сенсори та фільтри як перетворювачі вимірювальних сигналів.

2. Вимірювальні ланцюга генераторних і фільтр-перетворювачів.

3. Аналого-цифрові вимірювальні перетворювачі.

4. Фільтрація вимірювальних сигналів із застосуванням фільтрів низької частоти.

Лабораторна робота № 2 цифрова фільтрація вимірювальних сигналів. Нерекурсивні цифрові фільтри (нцф). Смуговий фільтр

Мета роботи - ознайомлення з принципами фільтрації вимірювальних сигналів, реалізація процедури фільтрації з використанням нерекурсивною смугового фільтра.

2.1. Основні теоретичні відомості

Ідеальним смуговим фільтром називається фільтр, який має одиничну амплітудно-частотну характеристику в смузі від певної нижньої частоти _н до певної верхньої частоти _в, і нульовий коефіцієнт передачі за межами цієї смуги (для цифрових фільтрів - в головному частотному діапазоні).

Імпульсна реакція фільтра (коефіцієнти оператора) знаходиться зворотним перетворенням Фур'є заданої передавальної функції H(). У загальному випадку:

h(nt) = (1/2) H() exp(jnt) d

Для отримання дійсної функції імпульсного відгуку фільтра дійсна частина передаточної функції повинна бути парною, а уявна - непарною. Цифрові фільтри задаються в головному частотному діапазоні, межі якого (частота Найквіста _N) визначаються інтервалом дискретизації даних (_N = /t), що підлягають фільтрації, і відповідно визначають інтервал дискретизації оператора фільтра (t = /_N). Для фільтрів з нульовим фазовим зрушенням уявна частина передавальної функції повинна бути дорівнює нулю, при цьому оператор фільтра визначається косинусних перетворенням Фур'є:

h(nt)= (1/) H() cos(n/_N) dn = 0, 1, 2,... (1)

Для ідеального смугового фільтра H()=1 в смузі частот від _н до _в, і інтеграл (1) обчислюється в цих межах. Ідеальні фільтри низьких і високих частот, як окремі випадки ідеальних ПФ, інтегруються в діапазоні від 0 до _в для низькочастотного і від _н до _N для високочастотного фільтру.

При інтервалі дискретизації даних t, умовно приймається за 1, головний частотний діапазон передавальних функцій обмежується значенням частоти Найквіста від - до . Якщо на практиці інтервал дискретизації даних у фізичних одиницях відрізняється від 1, то це позначається тільки на зміну масштабу частотної шкали передавальних функцій.

Приклад 1. t = 0.1 сек. f_N = 1/2t = 5 Гц. _N =/t = 10 .

Приклад 2. x = 10 метров. f_N = 0.05 м^-1. _N= 0.1 .

У всіх подальших виразах значення t, якщо це спеціально не обумовлено, будемо приймати рівним 1.

При H()=A=1 в смузі пропускання (_н, _в), и H()=0 за її межами, для ідеальних симетричних смугових НЦФ з (1) з межами інтегрування, відповідно, від _н до _в в загальному вигляді одержуємо:

h(n) = (А/) [_в sinc(n_в) - _н sinc(n_н)], (2)

h_o = (_в - _н)/, h(n) = (sin n_в - sin n_н)/(n).

де sinc(n) = sin(n)/(n) - функція інтегрального синуса (функція відліків), нескінченна по координаті .

При інверсії частотної характеристики в загороджувальний фільтр:

h_o = (1-(_н - _в))/, h(n) = (sin n_н - sin n_в)/(n).

Рис. 4. Вхідні сигнали. Рис. 5. Спектр сигнала та межі

фільтра.

На рис. 4 наведено приклад сигналу однотональний балансної амплітудної модуляції (чистого сигналу - вгорі, з накладеними шумами внизу, потужність шумів дорівнює потужності сигналу). Якщо інформація міститься в частоті та амплітуді модулюючого сигналу, то смуговий фільтр виділення сигналу з шумів, спектр якого для однієї модулюючої частоти наведено на рис. 5, в ідеальному випадку повинен мати плоску частотну характеристику в межах можливих варіацій модулюючої частоти (від _н до _в). .

Розмір оператора фільтра визначається приблизно з наступних міркувань. Чим більше розмір оператора, тим крутіше буде перехідна зона і менше її розмір, тобто тим ближче буде фактично реалізована передатна функція фільтра до ідеальної. Зазвичай спочатку варто спробувати побудувати фільтр досить великого розміру, оцінити його відповідність заданої частотною характеристикою і надалі спробувати зменшити. Значення N для симетричних НЦФ повинно бути непарним числом. 

Рис. 6. Оператор фільтра.

На рис. 6 наведено оператор смугового фільтра, обчислений по (2) для наведених вище умов, з обмеженням по числу коефіцієнтів оператора до N = 100. Як видно з малюнка, оператор загасає досить повільно і явно усічений, що повинно позначитися на формі частотної характеристики фільтра. Всі подальші обчислення будуть проводитися на продовженні даного прикладу.

Оператор ідеального частотного НЦФ, як це випливає з виразу (2), являє собою нескінченну затухаючим числову послідовність, що реалізує задану передавальну функцію:

H() = h(n) cos n. (3)

Обмеження вікна операторів фільтрів. На практиці нескінченний ряд (3) завжди доводиться обмежувати певним числом членів його кінцевого наближення

H'() = h(n) cos n,

при цьому передатна функція ускладнюється явищем Гіббса, і з'являється перехідна зона між смугами пропускання і придушення сигналу (рис. 7, пунктирна крива при N = 100). Явище Гіббса формує перші викиди передавальної функції на відстані /(2(N+1)) від стрибків (розривів першого роду). Якщо ширину перехідної зони _p в першому наближенні прийняти за відстанню між першими викидами по обидві сторони від стрибка функції H(), то її значення буде орієнтовно одно /(N+1) =_p 

Рис. 7. Передавальні функції смугового фільтра.

Застосування вагових функцій. Якщо рівень пульсацій передавальної функції, обумовлений явищем Гіббса, не задовольняє поставленим завданням фільтрації даних, рекомендується використання згладжуючих вагових функцій. З урахуванням того, що при застосуванні вагових функцій відбувається розширення перехідних зон приблизно в два рази, значення ширини перехідної зони буде рівним _p = 2/N. Звідси можна визначити мінімальне число членів усіченого ряди по заданому розміру перехідної зони:

N = 2/_p. (4)

Для прикладу на рис. 7 значення N прийнято рівним 200, при цьому крутизна перехідної зони збільшилася (тонка крива H'(), N=200), створюючи запас на подальше згладжування ваговій функцією.

Вибір вагових функцій доцільно здійснювати за допустимій величині осциляцій посилення сигналу в смузі придушення, тобто за відносним значенням амплітуди першого викиду на передавальних характеристиках вагових функцій. Для обраної ваговій функції (з урахуванням числа її членів за (4)) проводиться розрахунок вагових коефіцієнтів p_n, після чого встановлюються остаточні значення оператора фільтра:

h_n = p_n h(n). (5)

Рис. 8. Смугова фільтрація (угорі - вхідний сигнал, внизу - вихідний).

Підстановкою коефіцієнтів (5) в (3) рекомендується провести побудова отриманої передавальної характеристики фільтра і безпосередньо по ній оцінити придатність фільтра для поставлених завдань. Це наочно видно на рис. 7, де для нашого прикладу була застосована вагова функція Гауса. Передавальна функція H_p() має практично таку ж крутизну, як і функція H'() при N = 100 і практично плоску вершину в інтервалі спектра сигналу. Якість роботи фільтра для сигналу, наведеного на рис. 6, можна бачити на рис. 7.

При необхідності більш точної оцінки отриманої передавальної функції можна рекомендувати збільшення її частотного дозволу в 2-4 рази перед виконанням перетворення Фур'є, що можна виконати шляхом збільшення розмірів оператора hn доповненням нулями.

Основні вагові функції. Нижче в таблицях наведено формули та основні спектральні характеристики найбільш поширених вагових вікон. Носії вагових функцій, в принципі, є необмеженими і при використанні в якості вагових вікон діють тільки в межах вікна і обнуляються за його межами. Для спрощення запису формули наводяться в аналітичній формі з тимчасовим вікном 2,, симетричним відносно нуля (0 ). При переході до дискретної формі вікно 2 замінюється вікном 2N +1, а значення t - дискрети t = nt. Більшість вагових функцій на кордонах вікна (n = N) приймають нульові або близькі до нульових значення. Останнє виключається, якщо взяти2= (2N+3)t, при цьому близькі до нуля значення переміщуються за межі вікна.

Основні вагові функції.

Характеристики спектрів вагаових функцій.

Вагова функція Кайзера. Найбільше поширення при розрахунках частотних НЦФ отримала вагова функція Кайзера:

p(n) =

Це пояснюється тим, що параметри функції Кайзера можуть встановлюватися безпосередньо за технічними вимогами до передавальним функціям проектованих фільтрів - допустимої ширині перехідної зони _p і значенням коефіцієнта шуму фільтра . (максимальним значенням осциляцій передавальної функції в одиницях коефіцієнта передачі в смузі пропускання).

Кайзером встановлено, що для заданого значення  добутком кількості членів оператора НЦФ на ширину перехідної зони є величиною постійною. Воно отримало назву D-фактора:

D = N·_p/.

З іншого боку, встановлено такі емпіричні співвідношення між D-фактором і параметром  функції Кайзера:

D = (А-7.95)/14.36 при А>21.

= 0.9222 при А<21.

 = 0.1102(A-8.7) при А>50.

= 0 при А<21.

= 0.5842(A-21)^0.4 + 0.07886(A-21), 21<А<50.

де: А = -20 log  - затухання в децибелах.

Наведені вирази дозволяють по заданому значенню коефіцієнта шуму  визначити параметр  функції Кайзера, а через D-фактор число членів фільтра:

N = D/_p.

При проектуванні смугових фільтрів перевірка передавальної функції отриманого оператора НЦФ вихідного завданням за значенням коефіцієнта шуму є обов'язковою. Це пояснюється тим, що оскільки смуга пропускання смугового фільтра обмежена двома стрибками, на передавальної характеристиці виникають два центри осциляцій, при цьому накладення осциляцій може як зменшити, так і збільшити амплітуду сумарних осциляцій. Якщо за рахунок накладення відбудеться збільшення амплітуди осциляцій, то розрахунок НЦФ слід повторити з зменшенням вихідного значення .  

Приклад розрахунку смугового фільтра.  

Зробити розрахунок ПФ при наступних вихідних параметрах: _н = 0.3, _в = 0.6, _p = 0.1,  = 0.02.

1. А = -20 log . А = 34.

2. N =  (A-7.95)/(14.36 _p). N = 18.

3.  = 0.5842(A-21)^0.4 +0.07886(A-21).= 2.62.

4. h_о = (_в-_н)/. h_о = 0.3

5. h(n) = (sin n_в-sin n_н)/(n). h(n)= 0.04521, -0.24490, -0.09515, ... , 0.02721.

6. p_n= J_o{ } / J_o{}. p_n = 1.00, 0.997, 0.9882, .......

7. Оператор фільтра: h_n = p_n h(n), n = 0, 1, 2,..., N. h_-n = h_n. h_n = 0.3000, 0.04508, -0.2420, ....

8. Перевірка за формулою: H() = h_n cos n, 0  .

Для оцінки форми передавальної функції кількість точок спектра в інтервалі 0- досить задати рівним 2N, тобто з кроком /36.