Лекція 2 Закон розподілу окремих величин, які входять в систему. Умовні закони розподілу

Раніше було показано, що (1)

Знайдемо тепер щільність окремих випадкових величин Х і У через щільність розподілу системи

З

(2)

відки, диференціюючи по х, одержимо вираз для щільності розподілу величини Х:

З

(3)

а аналогією

Таким чином, для того щоб одержати щільність розподілу однієї з величин, які входять в систему, необхідно щільність розподілу системи проінтегрувати в нескінченних межах по аргументу, який відповідає другій випадковій величині.

З останніх формул видно, як з f(x,y) отримали f₁(x) та f₂(y). А чи можна з f₁(x) та f₂(y) визначити f(x,у)? – Не завжди.

Потрібно ще знати залежності між величинами, які входять в систему. Ця залежність може бути охарактеризована за допомогою умовних законів розподілу (F(x/y) або f(x/y)). Будемо розглядати тільки неперервні випадкові величини, тому достатньо розглянути функцію f(x/y).

Приклад. Система випадкових величин L та G представляє собою довжину або вагу осколка снаряда. Нехай нас цікавить довжина осколка снаряда L безвідносно до його ваги; це є випадкова величина з щільністю розподілу f₁ (l) – це безумовний закон розподілу. Але нас може зацікавити і закон розподілу довжини осколка визначеної ваги, наприклад 10г. Отримаємо умовний закон розподілу довжини осколка при вазі 10г. з щільністю f(l/g) при g=10.

Знаючи закон розподілу однієї із величин, які входять в систему, і умовний закон розподілу другої, можна скласти закон розподілу системи (аналогія P(AB)=P(A)*P_A(B)= P(B)*P_B(A). Знайдемо f(x,y).

f

y+dy

(x,y)dxdy = P((x,y) Rd )=P(x<X<x+dx)(y<Y<y+dy)

Ймовірність цих двох подій за теоремою добутку ймовірносте дорівнює ймовірності попадання в полосу І, помножену на умовну ймовірність попадання в полосу ІІ, обчислену при умові, що перша подія мала місце. Ця умова при , .

,

з

(4)

відси

Щільність розподілу системи двох величин дорівнює щільності розподілу однієї з величин, які входять в систему, помножену на умовну щільність розподілу другої величини, обчисленої при умові, що перша величина прийняла задане значення.

Ф

(5)

ормулу (4) часто називають теоремою добутку законів розподілу. За аналогією

(6)

(7)

А

(8)

бо

(9)

Залежні та незалежні випадкові величини

Випадкова величина У називається незалежною від випадкової величини Х, якщо закон розподілу величини У не залежить від того, яке значення прийняла величина Х.

Для неперервних випадкових величин умова незалежності У від Х має вигляд при будь-якому у. Якщо ж У залежить від Х, то

Д

(1)

оведемо, що залежність або незалежність випадкових величин завжди взаємні: якщо величина У не залежить від Х, то і величина Х не залежить від У.

Дійсно, нехай У не залежить від Х:

Тоді і (1) Доведено.

Іще одне означення: Випадкові величини Х і У називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної із них не залежить від того, яке значення прийняла друга. В іншому випадку величини Х і У називаються залежними. Для незалежних випадкових величин теорема множення законів розподілу: (2), тобто щільність розподілу системи незалежних випадкових величин дорівнює добутку щільностей розподілу окремих величин, які входять с систему. Умова (2) є необхідна та достатня умова незалежності випадкових величин.

Приклад. Щільність розподілу систему (X,Y) має вигляд:

Визначити, чи залежні, чи незалежні випадкові величини X та Y.

Із того, що функція розпалась на добуток функцій, із яких одна залежить тільки від x, інша – тільки від y, випливає, що X і Y – незалежні. Дійсно:

За аналогією . Звідки X та Y є незалежні.