1. Решение косоугольных сферических треугольников

При решении косоугольных сферических треугольников возникает 6 типовых случаев. В задачах типов 3, 4, 5 и 6 сочетание заданных и определяемых элементов следует понимать, как один из возможных случаев.

Таблица.1

Тип задачи	Дано	Искомые элементы	Формулы для определения искомых элементов
1	Три стороны a, b, c	Углы A, B, C	Косинуса стороны
2	Три угла A, B, C	Стороны a, b, c	Косинуса угла
3	Две стороны и угол между ними, например a, b, C	Углы A, B Сторона c	Котангенсов Косинуса стороны
4	Два угла и сторона между ними, например A, B, c	Стороны a, b Угол C	Котангенсов Косинуса угла
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол, например a, b, A	Угол B Угол C Сторона c	Синусов Аналогии Непера Синусов
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона, например A, B, a	Сторона b Угол C или сторона с Сторона с или угол С	Синусов Аналогии Непера Синусов или Аналогии Непера

При решении сферических треугольников следует применять следующий алгоритм:

1. выполнить схематический чертёж треугольника и пометить данные и искомые элементы;

2. воспользовавшись таблицей 1, подобрать необходимые формулы, связывающие три данных и каждый из искомых элементов;

3. упростить формулы и отделить тригонометрическую функцию неизвестной величины;

4. исследовать полученные формулы на знаки;

5. составить схему вычислений;

6. произвести вычисления с необходимой точностью.

7. произвести контроль вычислений (в качестве контрольной формулы обычно берётся теорема синусов).

Пример: Получить расчётные формулы для определения начального и конечного ортодромических курсов, а так же ортодромической дистанции для судна следующего из точки Т₁ с координатами ₁, ₁ в точку Т₂ с координатами ₂, ₂.

1. Выполняем схематический чертёж и помечаем известные и искомые элементы. Для ясности приведён полный чертеж земной сферы:

2. Подбираем расчётные формулы исходя из того, что известно две стороны и угол между ними:

Углы – теорема котангенсов, сторона – косинус стороны.

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

3. Преобразовываем формулы и заменяем условные обозначения:

ctg К_н = ctg(90° – ₂) sin (90° – ₁) сosec – cos (90° – ₁) ctg 

ctg(180°-К_к) = ctg(90° – ₁) sin(90° – ₂) сosec – cos(90° – ₂) ctg

cos D = cos(90° – ₁) cos(90° – ₂) + sin(90° – ₁) sin(90° – ₂) cos

Откуда окончательно имеем:

ctg К_н = tg₂ cos₁ сosec  – sin₁ ctg 

ctgК_к = - tg₁ cos₂ сosec+ sin ₂ ctg

cos D = sin ₁ sin ₂ + cos ₁ cos ₂ cos

4. Вычисления производятся наиболее удобным способом.