2.2. Уравнение состояния идеального газа

Из рис. 2.2 и 2.3 следует, что формулы, выражающие соответствующие законы, упростятся, если перенести начало координат в точку с температурой –273º С. Для этого введем новую шкалу температур и будем обозначать новую температуру Т, величину градуса оставим той же, что и в шкале Цельсия. Тогда

T = t + 273º,

отсюда

.

Запишем закон Шарля:

, .

(2.1)

Аналогично для закона Гей-Люссака:

.

(2.2)

Температура, введенная таким образом, называется абсолютной, а соответствующая температурная шкала – шкалой Кельвина, предложившего ее в 1848 г.

Из (2.1) и (2.2) при Т = 0 получается р = 0 и V = 0, чего, конечно, быть не может. Это неожиданное следствие получилось в результате применения рассмотренных законов для очень низких температур. Конечно, всякий реальный газ превратится в жидкость и затвердеет, прежде чем будет достигнута температура t = –273º C. Всякий физический закон имеет свои пределы применения.

Чтобы получить уравнение состояния идеального газа, рассмотрим некоторую массу газа m, которая занимает объем V₁, имеет давление P₁ и находится при температуре T₁. Пусть эта же масса газа в другом состоянии имеет объем V₂, давление P₂ и температуру T₂. Перевести этот газ в другое состояние легко, если он находится в цилиндре под поршнем.

Сначала, не меняя давление P₁, нагреем газ до температуры T₂, тогда он займет объем V' и этот объем по формуле (2.2) будет

.

(2.3)

Для того чтобы перевести его в окончательное состояние , проведем изотермическое изменение объема, для которого

.

Теперь подставим значение объема V' из (2.3):

.

или

.

Полученное для данной массы m соотношение указывает, что для любых двух состояний величина остается неизменной.

Обозначим это так:

.

(2.4)

Это соотношение было получено французским инженером Клапейроном в 1834 г. Конечно, для другой массы газа постоянная величина В имеет другое значение.

Менделеев преобразовал уравнение Клапейрона, использовав закон Авогадро. Согласно этому закону при одинаковых давлениях и температурах объемы одного моля всех газов одинаковы. Таким образом, если

p1 = p2 и T1 = T2,

то

,

где – объем одного моля газа.

В частности, при нормальных условиях, т.е. при и Па объем одного моля любого газа равен .

Если соотношение (2.4) относить к одному молю, то постоянная В будет одинакова для любого газа. Обозначая ее через R, получим:

.

Однако теперь в этой формуле – объем одного моля.

Итак,

.

Это и есть уравнение состояния для определенной массы, именно для одного моля.

В такой форме оно было получено Менделеевым в 1875 г. и называется уравнением Клапейрона-Менделеева. Постоянная R называется универсальной газовой постоянной и является одной из основных физических констант.

Вычислим ее значение. Для этого рассмотрим 1 моль газа при нормальных условиях.

.

Обобщим уравнение Клапейрона-Менделеева для произвольной массы идеального газа. Пусть газ с молярной массой μ взят в произвольном количестве, т.е. его масса m, а объем равен V. Величина определяет, сколько молей содержится в массе m. Объем одного моля , тогда объем массы m:

.

Отсюда следует, что для массы m выражение будет в раз больше газовой постоянной R. Но остается постоянным при всех изменениях газа, следовательно, для массы m:

.

или

.

Эта формула связывает все четыре величины и употребляется во всех случаях, когда приходится иметь дело с газами.