3. Лінійна незалежність векторів

Лінійною комбінацією векторів називається вираз виду , де – числа.

Вектори називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тільки при нульових коефіцієнтах, тобто

Якщо хоча б один з коефіцієнтів , то вектори називаються лінійно залежними. У цьому випадку принаймні один з векторів можна подати у вигляді лінійної комбінації інших, наприклад, якщо , то , при цьому коефіцієнти можна розрахувати так .

Максимальна кількість лінійно незалежних векторів простору називається розмірністю простору.

Будь-які два колінеарні вектори лінійно залежні.

Будь-які три компланарні вектори лінійно залежні.

Будь-які чотири вектори у трьохвимірному просторі лінійно залежні.

Приклад. Визначити, чи є лінійно залежними вектори:

Розв'язання. Вектори лінійно залежні, якщо існують такі однозначно не рівні нулю числа , що .

Виконаємо операції над векторами:

.

З останньої рівності отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь:

Однорідна система має ненульові розв'язки, якщо її визначник дорівнює нулю. Отже, вектори лінійно залежні.

Відповідь. Вектори лінійно залежні.

4. Розклад вектора за базисом

Упорядкована сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору утворює базис.

Базисом на прямій (у R¹) називається довільний ненульовий вектор на цій прямій.

Базисом на площині (у R²) називається довільна упорядкована пара не колінеарних векторів.

Базисом у просторі (у R³) називається довільна упорядкована трійка не компланарних векторів.

Вектори, що складають базис, називаються базисними.

Розкласти вектор за базисом означає зобразити його у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

Теорема. Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій. Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині. Кожен вектор можна розкласти за базисом у просторі. Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.

Якщо кути між базисними векторами довільні, базис називають довільним і позначають . Якщо базисні вектори взаємно перпендикулярні (ортогональні), то і базис називають ортогональним.

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації базисних векторів: , то кажуть, що він розкладений за базисом . Вектори називають складовими (компонентами) вектора , а числа – його координатами в базисі . Зазвичай записують так:

Приклад.

Показати, що вектори утворюють базис у R³, знайти координати вектора у цьому базисі.

Розв'язання. Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто якщо рівність можлива лише при .

У даному випадку приходимо до системи лінійних однорідних рівнянь:

Оскільки визначник не дорівнює нулю – система має лише нульовий розв'язок, вектори лінійно незалежні й утворюють базис у просторі R³ .

Розкладемо вектор за базисом :

Відповідь.