2.4 Поляризованность диэлектрика

Количественной мерой поляризации диэлектрика является электрический дипольный момент единицы его объема. Если диэлектрик или внешнее поле неоднородны, то степень его поляризации в разных точках отлична, в этом случае для характеристики поляризации в данной точке выделяют мысленно физический бесконечно малый объем , в который входит эта точка, затем находят векторную сумму дипольных моментов всех молекул в этом объеме и берут отношение

Этот вектор называется поляризованностью диэлектрика. Он численно равен дипольному моменту единицы объема вещества.

Если известна концентрация молекул-диполей , то можно представить в виде: , где - средний дипольный момент одной молекулы.

Таким образом, .

В ионном кристалле все положительные заряды смещаются относительно отрицательных на величину . В объеме сместится заряд и появится дипольный момент , тогда поляризованность . Единицей поляризованности является, очевидно, .

2.5 Связь между вектором поляризованности и напряженностью поля в диэлектрике

Как показывает опыт, для большого класса диэлектриков и широкого круга явлений линейно зависит от напряженности поля в диэлектрике . Для изотропного диэлектрика и не слишком больших полей:

.

Существуют диэлектрики, в которых эта формула неприменима. Это некоторые ионные кристаллы и электреты, а также сегнетоэлектрики. У последних связь между и нелинейна и зависит от предыстории диэлектрика (имеет вид петли гистерезиса).

2.6 Теорема Гаусса для поля вектора

Поле вектора обладает важным свойством: поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом этой поверхностью:

Для доказательства возьмем произвольную поверхность, которая охватывает часть изотропного диэлектрика, рис.2.2а. (Векторы и здесь коллинеарны).

Рис.2.2

При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется: положительный заряд смещается в направлении поля, отрицательный-против на расстояния , соответственно.

Найдем заряд, который пройдет через элемент замкнутой поверхности S наружу, (рис.2.2б в увеличенном виде): - заряд, который был заключен во внутренней части косого цилиндра объемом . Кроме того, во внутрь войдет заряд , который был заключен во внешней части цилиндра. Перенос отрицательного заряда эквивалентен переносу положительного в обратном направлении, тогда суммарный связанный заряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS равен: + = , т.к., , а расстояние, на которое сместятся при поляризации отрицательные и положительные заряды . Значит, . Поскольку , то .

Интегрируя это выражение по всей замкнутой поверхности S, получим в правой части весь заряд, который вышел при поляризации из объема, охватываемого этой поверхностью, он равен: . Внутри поверхности останется некоторый избыточный связанный заряд. Вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхности S, т.е., .

Это и есть теорема Гаусса для вектора в интегральной форме.

Для перехода к дифференциальной форме правую часть уравнения запишем через объемную плотность заряда:

, а левую – преобразуем по теореме Остроградского – Гаусса:

, тогда . Это условие должно выполняться для любого, произвольно выбранного объема, что возможно, если в каждой точке диэлектрика подынтегральные выражения равны:

- дифференциальная форма теоремы Гаусса для вектора . Значит, дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

Рис.2.3 дает наглядную интерпретацию этой формуле. Можно подобно полю ввести поле вектора . Точки с положительной являются источниками поля вектора , отсюда линии расходятся. Точки с отрицательной служат стоками поля вектора поляризованности, линии здесь сходятся. В местах с положительной образуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной - положительных.

Рис.2.3