Свободные колебания

Свободные колебания имеют место, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила F, которая стремит­ся вернуть тело, отклоненное от положения равновесия в это положение. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеяние энергии в окружающее пространство. В противном случае мы говорим, что на тело кроме возвраща­ющей силы действует сила сопротивления (или сила трения) F _тр. Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которая называется вынужда­ющей.

В данной работе изучаются закономерности свободных колеба­ний пружинного маятника. Пружинной маятник представляет собой груз массой m, подвешенный на упругой пружине жесткостью k (рис.1). В случае положения равновесия (груз в покое, x = 0) сила тяжести mg уравновешивается упругой силой растяжения пружины (F=mg). Если отклонить тело от положения равновесия на величину x=A₀ и отпустить его, то оно будет совершать колебания. При определённых условиях (небольшом смещении, достаточно тяжёлом грузе, при большой жёсткости пружины, за небольшой промежуток времени) колебания можно счи­тать незатухающими, совершаемыми под действием силы упру­гости, которая по закону Гука равна:

F = - k x, (1)

где k – коэффициент жесткости пружины.

По II закону Ньютона:

F = ma, , ,

(2)

Выражение (2) является дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний. Решение этого уравнения представляет собой зависимость x(t), которая имеет вид:

(3)

г де А₀ – амплитуда – величина наибольшего отклонения от положения равновесия, ее значение определяется величиной начального воздействия, которым система была выведена из положения равновесия; - фаза колебаний; φ₀ – начальная фаза.

График этой зависимости представлен на рис.2.

Подставляя (3) в (2) и учитывая, что:

, при φ₀=0 получаем:

или

Выразим период: (4)

Из (4) следует, что для данной пружины квадрат периода коле­баний прямо пропорционален массе тела.

Затухающие колебания Уравнение затухающих колебаний

В любой реальной колебательной системе есть силы сопро­тивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы т действует кроме квазиупругой силы (-kх) сила сопротивления, пропорциональная скорости части­цы (простейший, и вместе с тем наиболее часто встречающийся случай), , где r — коэффициент сопротивления (величина размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

, (5)

или

, (6)

где 2β = r/m, . Отметим, что ω₀ — это частота свобод­ных колебаний без трения. Частоту ω₀ называют собственной частотой осциллятора, а β — коэффициентом затухания.

Эксперимент показывает, что смещение x точки от положения равновесия удовлетворяет зависимости

, (7)

где a₀ – амплитуда колебаний в начальный момент времени и α – начальная фаза колебаний. Анализ выражения (7) показывает, что величина ω является частотой затухающих колебаний. Можно установить зависимость величины ω от параметров ω₀ и β, если, пользуясь выражением (7), найти , и подставить найденные выражения в (6). После преобразований (проведите их самостоятельно) получим:

. (8)

Г

Рисунок 3.

рафик функции (3.3) показан на рис. 3 для случая х₀ > 0 и . Затухающий колебательный процесс не является в строгом смысле пери­одическим. Действительно, рассмотрим момент времени t_n, когда cos(ωt_n + α) = 1 и следовательно x(t_n)=a(t_n)= . Ясно, что при любом t > t_n x(t) < x(t_n), т. е. значение функции x(t_n) не повторяется ни при каких t > t_n. Ясно в то же время, что благодаря гармоническому множителю cos(ωt + α) функция x(t) обладает определенной повторяемостью: в частности, повто­ряются через равные промежутки времени как нулевые значения функции x(t), так и ее максимумы и минимумы. Поэтому величину Т = 2π/ω принято называть периодом зату­хающих колебаний:

. (9)

Множитель а = а₀е^-βt перед косинусом в (7) называют ам­плитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 3).