Обратная матрица
Обратной
матрицей называется
матрица, которая при умножении как
справа, так и слева на данную матрицу
дает единичную матрицу.Обозначим
обратную матрицу к матрице А через 
,
тогда согласно определению получим:
где Е – единичная матрица.
Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной.
Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.
Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:
где Δ = det A ≠ 0.
Алгебраическим
дополнением элемента
матрицы n -го
порядка А называется
взятый с определенным знаком определитель
матрицы (n –1)-го
порядка, полученной вычеркиванием i-ой
строки и j-го
столбца матрицы А:
Составим так называемую присоединенную матрицу:
где
–
алгебраические дополнения соответствующих
элементов
матрицы А.
Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы. Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу :
Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:
1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;
2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;
3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы. Основные свойства обратной матрицы:
1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;
2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:
3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:
П р и м е р . Вычислить матрицу, обратную данной:
Р е ш е н и е . Определитель матрицы А равен:
Следовательно, матрица А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:
Разделив все элементы присоединенной матрицы Ã на Δ = 1, получим обратную матрицу :
Проверим,
что действительно, 
Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.
Степени матриц
Пусть А – квадратная матрица и n – натуральное число. Тогда n-ой степенью матрицы А называется:
Кроме того, считается, что
где Е – единичная матрица.
Если матрица А неособенная (невырожденная), то можно ввести отрицательную степень матрицы:
Для
степеней матрицы с целыми показателями
имеют место следующие правила:
Если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем АВ = ВА, то имеет место формула бинома Ньютона:
П р и м е р [1] . Найти
Р е ш е н и е .
Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу:
Если выбрать в этой матрице произвольным образом k строк и k столбцов, где k ≤ min (m, n), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k . Определитель этой субматрицы называется минором k-го порядка матрицы А.
Ранг матрицы – это максимальный порядок не равного нулю минора матрицы.
Иными словами, ранг матрицы А равен r, если:
1) существует хотя бы один минор r-го порядка матрицы А, не равный нулю; 2) все миноры порядка r +1 и выше равны нулю или не существуют.
Ранг нулевой матрицы (матрицы, состоящей из нулей) считается равным нулю.
Разность min (m, n) – r называется дефектом матрицы. Если дефект матрицы равен нулю, то матрица имеет максимально возможный ранг.
П р и м е р . Определить ранг матрицы
Р е ш е н и е . Левый минор четвертого порядка данной матрицы равен
Следовательно, ранг матрицы равен 4.