2.9 Численное интегрирование и дифференцирование
В практических расчетах часто приходится проводить интегрирование или дифференцирование функций представленных табулированными зависимостями. Если функция задается формулой, то легко организовать задание значений аргумента в виде арифметической прогрессии, а значения функции представить с любой допустимой в ЭВМ точностью. Иное дело, когда приходится обрабатывать экспериментальные данные. Эти данные чаще всего зашумлены и значения аргументов не являются арифметической прогрессией. Появление шума объясняется наличием приборной погрешности, неудачным сглаживанием экспериментальных данных и множеством других причин.
Постоянный шаг аргумента.
Для заданных табулированных функций, когда аргументы представляются арифметической прогрессией (шаг аргумента постоянен), существуют легко реализуемые в таблицах Excel расчетные формулы численного интегрирования и дифференцирования, основанные на использовании разностных подходов.
Для численного дифференцирования используют прямые разности на шаге ΔX (вариант 1) или центральные разности на двух шагах ΔX (вариант 2):
вариант 1 -
;
вариант 2 -
.
(2.12)
Н
аиболее
просто численное интегрирование
проводится методом трапеций.
На интервале равном шагу интегрирования:
(2.13)
Интеграл на интервале [X 1, X n] определяется как:
(2.14)
При численном интегрировании более точным считается метод Симпсона. В этом случае на интервале [X i-1, X i+1] (два смежных шага ΔX) функция описывается полиномом второго порядка, а интеграл определяется по зависимости:
(2.15)
Интеграл на интервале [X 1, X n] определяется как сумма интегралов на отдельных интервалах [X i-1, X i+1] расположенных с шагом 2ΔX:
(2.16)
где n – нечетное число.
Переменный шаг аргумента.
К
огда
аргументы представлены не арифметической
прогрессией формулы для численного
интегрирования и дифференцирования
усложняются.
Одношаговые формулы дифференцирования и интегрирования принимают вид:
дифференцирование (вариант 1):
(2.17)
интегрирование методом трапеций на интервале [X i-1, X i]:
(2.18)
Интеграл на интервале [X 1, X n] определяется как сумма интегралов на отдельных интервалах [X i-1, X i]:
(2.16)
Для двухшаговых схем численного дифференцирования и интегрирования используется аппроксимацию заданной табулированной функции на интервале [X i-1, X i+1] полиномом второго порядка:
(2.17)
где
,
Тогда численное значение первой производной для i-ой точки равно:
(2.18)
Численное значение интеграла на интервале [X i-1, X i+1] получим по зависимости:
(2.19)
Интеграл на интервале [X 1, X n] определяется как сумма интегралов на отдельных интервалах [X i-1, X i].
Для расчета значения первой производной по формуле (2.18) можно использовать функцию пользователя Deriv:
Function Deriv(X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3)
XX2 = X2 - X1
XX3 = X3 - X1
YY2 = Y2 - Y1
YY3 = Y3 - Y1
B = (YY2 * XX3 ^ 2 - YY3 * XX2 ^ 2) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)
C = ((Y3 - Y1) * XX2 - (Y2 - Y1) * XX3) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)
Deriv = B + 2 * C * XX2
End Function
Для расчета значения интеграла по формуле (2.19) можно использовать функцию пользователя Simpson:
Function Simpson(X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3)
XX2 = X2 - X1
XX3 = X3 - X1
YY2 = Y2 - Y1
YY3 = Y3 - Y1
B = (YY2 * XX3 ^ 2 - YY3 * XX2 ^ 2) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)
C = ((Y3 - Y1) * XX2 - (Y2 - Y1) * XX3) / (XX2 * XX3 ^ 2 - XX2 ^ 2 * XX3)
Simpson = Y1 * XX3 + B / 2 * XX3 ^ 2 + C / 3 * XX3 ^ 3
End Function
В приведенных текстах функций используются следующая связь между формальными параметрами (в тексте функций) и фактическими параметрами (в таблице Excel):
