М етод хорд.

Метод хорд также, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на интервале [a,b], на концах которого значения функции f(x) разного знака. Первое приближение берется в точке x₁, где пересекается прямая линия, проведенная через точки f(a) и f(b) с осью x. В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот из двух [a,x₁] или [x₁,b], на концах которого функция f(x) имеет разные знаки. В нашем слчае это интервал [a,x₁]. На следующих итерациях после уточнения границ нового интервала расчет проводится по формуле:

x=(f(b)*a - f(a)*b)/(f(b) - f(a));

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда выполнится условие |x_i-x_i-1|< или когда значение функции f(x_i) попадет в область шума | f(x_i) |<₁.

Метод Ньютона (метод касательных).

Рассмотрим графическую иллюстрацию метода на Рис. 1.3.

Предположим, что известно начальное приближение x₀ к корню. В точке x₀ вычислим левую часть решаемого уравнения f(x_Q), а также производную в этой точке f’’(х₀). Следующее приближение к корню найдем в точке х_1, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x₀,f₀), пресекает ось абсцисс. Для этого используем формулу (1.19) построенную на основе элементарных геометрических соображений.

(1.19)

Затем считаем точку х₁в качестве началь­ной и продолжаем итерационный процесс (определяем следующее приближение x₂) и т.д. Из Рис. 1.3 видно, что таким способом можно быстро приблизиться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным x_m и предыдущим х_m-1 приближениями к корню будет уменьшаться. Расчет уточненного значения корня в общем случае проводим по уравнению (1.20). Процесс уточнения корня закончим, когда выпол­нится условие (1.21).

(1.20)

x_m+1 - х_m < ε, (1.21)

где ε – абсолютный итерационный допуск,

m – номер итерации (приближения).

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, его недостатком является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Метод простых итераций.

В этом методе решается уравнение (1.22).

x=φ(x) (1.22)

Процесс решения заключается в следующем. Пусть имеется приближенное значение корня x_m-1. Для получения уточненного значения используем итерационную формулу:

x_m = φ(x_m-1) (1.23)

Уточнения (итерации) выполняются до тех пор, пока не выполнится условие (1.19). Процесс уточнений может быть сходящимся, когда от итерации к итерации непрерывно уменьшается значение x_m+1 - х_m или может быть расходящийся когда значение x_m+1-х_m непрерывно растет. Условием сходимости итерационного процесс является

φ(x)< 1 (1.24)

Переход от уравнения (1.18) к уравнению (1.22) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f(x). При таком переходе необходимо построить функцию φ(x) так, чтобы выполнялось условие сходимости (1.24). Чаще всего используется преобразование (1.25)

φ(x)= x+pf(x). (1.25)

Преобразование (1.25) удобно тем, что, изменяя значение параметра p можно управлять скоростью сходимости итерационного процесса.