Практические задачи на тему «Подстановки»

Цель работы:

На конкретных примерах разобраться с конечными множествами и операциями над ними; научиться находить число всех k-элементных подмножеств множества из n элементов и число перестановок множества, состоящего из n элементов. Закрепить полученные знания по данной тематике при решении занимательных задач. Содержание работы:

Задача 1: A – количество студентов; B – посещают математический кружок; C – физический; D – не посещают ни одного из кружков. Сколько студентов посещают и математический, и физический кружок? Сколько студентов посещают только математический кружок? |A|=37; |B|=20;

Решение:

|C|=16; |D|=17.

|BUC|=|B|+|C|-|B∩C|

____

|BUC|=17

____

|BUC|=|A|-|BUC|=37-17=20

20=20+16-|B∩C|

|B∩C|=16

|B\C|=|B|-|B∩C|=20-16=4

Ответ: 16; 4

Задача 2: Сколькими способами из A студентов можно выбрать делегацию, если делегация состоит из B студентов? |A|=42; |B|=8.

Решение:

C =

k=8; n=42

C =

Ответ:

Задача 3: Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Решение:

C =

n=10; k=4;

C = =210

Ответ: 210

Задача 4: На собрании должны выступить 4 человека A,B,C,D. Сколькими способами их можно разместить в списке ораторов, если B не может выступить до того момента, пока не выступит A.

Решение:

=12

CDAB DCAB CADB CABD DACB DABC ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB

Ответ: 12

Задача 5: сколькими способами могут разместиться A покупателей в очереди в кассу. |A|=15

Решение:

P =

n=15; k=15

P = =15!

Ответ: 15!

Практические задачи на тему «Понятие вычетов»

Задача 1: Найти такое число d ¹ 1, на которое делятся числа 6п + 5 и 9л + 2. При каком значении п. это деление возможно?

Решение: Если числа 6п + 5 и 9п + 2 делятся на d, то на d делится и разность

3(6n + 5) - 2(9п + 2) = 15 - 4 = 11

Число 11 – простое число, значит d= 11.

Не трудно установить, что п = …- 21, – 10, 1, 12, 23…

Задача 2: Для степени y=2n (n–натуральное число) установить классы сравнимости. Установить зависимость последней цифры этой степени от ее показателя.

Решение и комментарии.

Как известно, натуральные степени числа 2 оканчиваются цифрами {2, 4, 8, 6}. См. таблицу нескольких степеней числа 2.

Определим функцию, которая ставит в соответствие каждому натуральному числу п последнюю цифру числа 2я:n 2n Последняя

цифра 2т

1 2 2

2 4 4

3 8 8

4 16 6

5 32 2

6 64 4

7 128 8

8 256 6

f: N®{2, 4, 8, 6},

Эта функция f(n) периодична с периодом 4. Это значит, что для целого числа k: f(n)=f(n+4)= f(n+4k),.

Причем справедливы так же равенства: f(n)=f(n-4)= f(n-4k)

Последнее равенство означают, что для любого п нужно найти минимальное натуральное т, такое, что f(m) = f(m + 4k) = f(n).

Но это задача на делении с остатком числа n на 4:

n=4k+m, k- частное, т – остаток.

Очевидно, последняя цифра числа 2″ зависит от остатка, полученного при делении показателя n степени 2 n на 4.

Отразим этот факт в записи функции: f(n)= f(n mod 4)

Из этой формулы можно установить, если f(n mod 4)=0, то

При делении чисел на 4 “nÎN, останки могут быть: 0,1,2,3. Таким образом, в частности, множество всех возможных показателей степени 2 n для любого n состоит из четырех подмножеств: 4k, 4k+ 1, 4k+ 2, 4k+3.

Задача 3: Установить последнюю цифру степени y=2 2007

Решение. Имеем 2007=501·4+3, значит f (2007)=f (3)=23=8. Ответ 8.