4. Найпростіші дії з матрицями

Найпростішими діями з матрицями називають множення мат­риці на число, їх додавання та віднімання, множення матриць.

Добутком матриці А на число k називається матриця, елемен­ти якої дорівнюють добуткам елементів матриці А та числа k:

. (1)

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Алгебраїчною сумою матриць А та В однакового розміру називається матриця С розміру , елементи якої дорівнюють відповідній алгебраїчній сумі елементів та матриць А та В, тобто

. (2)

Наприклад, якщо

, ,

тоді

.

Для знаходження добутку АВ матриць А та В необхідно, щоб кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнювала кількості рядків матриці В (другого множника). Добутком АВ матриці А розміру і матриці В розміром називається матриця С розміром , елементи якої с_ij дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-гo стовпця матриці В, тобто кожен елемент матриці С знаходять за формулою

. (3)

Зауваження. Добуток матриць взагалі не має властивості комутативності, тобто АВ ВА. Якщо добуток двох матриць має властивість АВ = ВА, тоді кажуть, що матриці комутують.

Приклад 2. Знайти добуток матриць

та

Розв'язання. У матриці А три стовпця, у матриці X три рядки, тому ці матриці можна множити. Добутком цих матриць буде матриця-стовпець

. (4)

Приклад 3. Нехай

,

знайти АВ та ВА.

Розв’язання

,

.

Отже,

Зауваження. Ділення матриць poзглядають як добуток АВ^–1, де В^-1 – матриця, обернена до матриці В, визначення та знаходження якої розглянемо пізніше, після введення нових понять.

5. Ранг матриці та обернена матриця

Нехай задана матриця А розміру

.

Виберемо в ній довільно k рядків та k стовпців. Елементи, що знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утво­рюють квадратну матрицю k-го порядку, визначник якої на­зивають мінором k-го порядку матриці А. Обираючи різними способами k рядків та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів k-го порядку. Матриця має мінори будь-якого поряд­ку: від першого (елементи матриці-мінори 1-го порядку) до найменшого із чисел m та n.

Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні від нуля і нехай їх найбільший порядок = r.

Означення 1. Рангом матриці називають найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля.

Ранг матриці позначають r(А) або r_A або просто r. Ранг мат­риці можна знаходити методом обвідних мінорів або про­стіше – методом елементарних перетворень.

Означення 2. Елементарними перетвореннями матриці назива­ють такі перетворення:

1. перестановка рядків (стовпців) матриці;

2. множення всіх елементів рядка (стовпця) на число ;

3. додавання до елементів рядка(стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допо­могою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діаго­налі всі елементи – нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів головної діагоналі, відмінних від нуля.

Приклад 1. Знайти ранг матриць:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Розв'язання. Ранг матриць будемо знаходити методом елементарних перетворень.

a) Елементи першого рядка матриці помножимо на (–3) і до­дамо до відповідних елементів другого рядка матриці А:

.

Звідси випливає, що ранг цієї матриці дорівнює 1 (нижче го­ловної діагоналі – нуль та один елемент головної діагоналі 0)

b) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були нулі:

Звідси випливає, що r(А) = 2.

с) Знову робимо такі перетворення, щоб нижче головної діаго­налі були нулі:

Оскільки можна третій та четвертий стовпці поміняти місця­ми і отримати третій елемент головної діагоналі, який 0, то r(А) = 3.

d) Перетворимо матрицю аналогічно попередньому

.

Звідси випливає, що r(А) = 2.

Означення 3. Матриця А^–1 називається оберненою матрицею до матриці А, якщо виконуються рівності

AA^-1= A^-1A = E , (1)

тобто матриці А та A^-1комутують і їх добуток є одинична мат­риця.

Не всяка матриця має обернену. В алгебрі матриць доведено, що матриця А має обернену матрицю A^–1 при виконанні двох умов:

1. матриця А квадратна;

2. визначник |А| матриці А не дорівнює нулю.

Обернену матрицю A^–1 до матриці А можна знаходити двома способами:

за формулою

(2)

де А_ij – алгебраїчні доповнення елементів а_ij матриці А, (ал­гебраїчні доповнення до і-го рядка розташовані у і-му стовпці, (і = 1, 2, …, n).

а також з використанням означення оберненої матриці та елементарних перетворень матриць.

Приклад 2. Знайти обернену матрицю до матриці

.

Розв'язання. Спочатку впевнимося, що матриця А має обернену А^–1.

Матриця А має три рядки та три стовпця, тому вона квад­ратна порядку 3. Її визначник

.

Отже, матриця А має обернену А^–1, яку знайдемо за форму­лою (2). У даному випадку алгебраїчними доповненнями до елементів матриці А будуть:

Таким чином, одержали

.

Приклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

.

Розв'язання. Задана матриця А квадратна порядку 3, її визначник:

Отже, ця матриця оберненої не має.

Зауваження. Якщо матриця А квадратна другого порядку , визначник якої |А| 0, то обернену до неї матрицю А^–1 можна знайти за формулою

(3)

тобто треба елементи головної діагоналі матриці А поміняти місцями, елементи неголовної діагоналі помножити на (–1) і одержану матрицю помножити на .

Приклад 4. Знайти обернену матрицю до матриці .

Розв'язання. Задана квадратна матриця другого порядку, її визначник

.

тому для знаходження А^–1 можна застосувати формулу (3). Одержимо:

.

ІІІ. Заключення

Питання для самоперевірки

1. За якими правилами матрицю помножають на дійсне число, знаходять алгебраїчну суму матриць, добуток матриць?

2. Чи завжди добуток матриць має властивість комутативності?

3. Дати означення рангу матриці та вказати методи його знаходження.

4. Як визначають та позначають обернену матрицю до матриці А?

5. При яких умовах існує обернена матриця?

6. Які ви знаєте способи знаходження оберненої матриці?

7. Дати означення матриці та її розміру. Які існують різновиди матриць?

8. Які елементи утворюють головну та неголовну діагоналі матриці?

9. За якими правилами обчислюють визначники 2, 3 та n-го порядків?

10. Як визначають і знаходять мінор та алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А?

11. Сформулюйте властивості визначника.

15