Лабораторна робота № 5 моделювання коливань двухатомної молекули в квазі-класичному наближенні
Мета роботи: навчитися моделювати коливання двуатомної молекули в квазі-класичному наближенні.
Теоретичні відомості
Двоатомна молекула складається з двох ядер, пов'язаних електронами,
оскільки маса ядер на три порядки більше мас електронів, можна вважати, що розподіл електронів миттєво підлаштовується до зміни положення важких ядер , це дозволяє звести розглянуту задачу до задачі про рух двох ядер в потенційному полі, залежній від відстані між ними. причому на великих відстанях потенціал повинен бути притягаемим (сили Baн-дер-Ваальса), а на близьких відстанях - відштовхуючим (кулонівських сили і обмінна взаємодія), Таку властивість має потенціал Ленарду-Джонсона.
.
(16.24)
Беручи до уваги велику масу ядер, можна провести далекої шиї спрощення задачі, вважаючи рух молекули сумою двох незалежних друг від друга рухів: повільного обертання молекули як єдиного цілого і більш швидкого коливального руху ядер атомів відносно центру мас. Перше рух добре описується як квaнтове механічне обертання жорсткої системи типу «гантель». Коливальний рух ядер описується рівнянням Шредінгера (16.8), в якому і (х) - потенціал Лейнарда-Джонсона.
Наше завдання полягає в знаходженні власних значень енергії (енергетичного спектру) коливального руху. Беручи до уваги велику масу ядер, можна вважати, що їх рух близько до класичного. Тому наближені значення енерrіі коливань можна знайти, вирішивши класичну задачу про рух частинки в потенційному полі, а потім для визначення енергетичного спектру використовувати правила квантування Бора-Зоммерфельда.
Класичне фінітних рух в потенціалі V (r) можливо в діапазоні енергій-Vo <Е <О, При цьому зміна меж'ядерного відстані має характер періодичного руху між точками повороту, які ми будемо надалі позначати r / ejt, rrig / Jt. Для частинки, яка рухаеться в потенційному полі, виконується закон збереження енергії
.
(16.25)
де р - імпульс відносно руху ядер, Тому в фазовому просторі рух являє собою деяку замкнуту криву,в кожній точці якої виконується умова (16,25), У явній формі рівняння траєкторії у фазовому просторі виходить рішенням
рівняння (16.25) відносно р:
.
(16.26)
У класичному випадку рух частинки можливо при будь-якому значенні енергії в діапазоні [-Vo; O], Для знаходження дискретного енергетичногo спектру Еп рівняння Шредінгера вводиться змінна величина дію, що залежить від знерrіі системи:
.
(16.27)
rде k (r) == Ii-lp (r) - хвильове число хвилі де Бройля, а інтегрування ведеться по одному повного періоду коливання, По своєму фізичному змістом змінна дії відповідає площі, охопленої тpaeкторіей у фазовому просторі та вимірюваної в одиницях п. у відповідності з правилом квазікласичному квантування дозволені лише ті значення енергії Еп, яким відповідає дія, рівне 2к (n + 1/2), де n = 0,1, 2 ... Таким чином, використовуючи (16.25) і помічаючи, що траєкторія симетрична відносно прямої х == О, отримуємо
.
(16.28)
У кордонних точках інтервалу інтегрування підінтегpальний вираз в (16.28) дорівнює нулю, Для зручності вирішення даної задачі введемо наступні безрозмірні змінні
.
(16.29)
використовуючи які, вираз (16.28) можна записати в наступному вигляді:
.
(16.30)
Для реалізації описаного вище алгоритму обчислення спектру коливань двоатомних молекули необхідно створити два m-файлу: 1) файл Ас-tion.m, що містить опис функції, що повертає значення функції S(E) для заданих значень енергії; 2) файл Spectr.m, що містить опис функції, що повертає власні значення енергетичного спектру коливань двоатомної молекули.
% лістинг файла Action.m
function z = Action(Emin,Emax,Xmin,gamma)
% функция, повертає значення функції S (E) дшl заданих
% значений энерrіі;
% Emin - мінімальне значення енергії
% Етах - максимальне значення енергії
% Xmin - координата мінімуму потенційної енергії
% gamma - коефіцієнт, що входить в безрозмірне рівняння
% Шредінгера (16,22)
% знаходження коренів рівняння U(x)=Emax
sl='4*(I.1r. л 12-1.1r. Л6)';
s2=num2str(Emax);
s=strcat(sl,'-' ,s2);
хО=О.I;
Xleft=fzero(inline(s,'r'),[O.1 Xmin]); % ліва точка повороту
xO=10*Xmin;
Xrihgt=fzero(inline(s,'r'),[Xmin хО]); % права точка зупинки
Emin=Emin+ 10Л-3;
Ne=100; % число значень залежно S(E)
De=(Emax- Emin)/(Ne-l);
Np=1000; % число вузлів сітки, використовуваних для обчислення інтеrpала
j=I:Np;
for i=I:Ne
Е=Еmiп+Dе*(i-l);
хО=О.I;
s2=num2str(E);
s=";
s=strcat(sl, '-' ,s2);
Xleft=fzero(inline(s,'r'),[xO Xmin]); % ліва точка зупинки,
% відповідна енергії Е
xO=10*Xmin;
Xright=fzero(inline(s,'r'),[Xmin хО]); % права точка зупинки,
% відповідна енергії Е
z(i,1)=E;
x(j)=Xleft+(Xright-Хlеft)/(Nр-l)*(j-l);
s=strcat('(' ,s2,'-' ,sl, ')','. ЛО.5');
F=inline(s, 'r');
S (j)=gamma *real(F(x(j)));
I=trapz(x,S); % обчислення інтегpала (16.28)
z(i,2)=I;
end;
% лістінг проrpамми Spectr,m
function [Xleft,Xright,EL] = Spectr(z,Xmin)
% Функції, що повертає власні значення енергетичного
% Спектру коливань двоатомних молекули, і відповідні
% Даних значень координати точок повороту
% Z - матриця, повернута функцією Action
% Хшiп - координата мінімуму потенційної енергії
п=О;
Ml=max(z(: ,2));
j=l;
sl='4*(I.1r. л 12-1.1r. Л6)';
while and(n+0.5)*pi<Ml,j+ 1 <Iength(z))
while z(j,2)«n+0.5)*pi
j=j+l;
end;
if j+ 1 <Iength(z);
x=[z(j-l,l) z(j,I)];
y=[z(j-l,2) z(j,2)];
а=(у(2)-у( 1) )/(х(2)-х(I));
Ь=у(I)-а*х(I);
EL(n+ 1 )=( (n+0.5)*pi-b )/а;
хО=О.I;
s2=num2str(EL(n+ 1));
s=";
s=strcat(sl,'-' ,s2);
Xleft(n+ 1)=fzero(inline(s,'r'),[xO Xmin]);
xO=10*Xmin;
Xright(n+ 1)=fzero(inline(s,'r'),[Xmin хО]);
п=п+l;
end;
end;
Далі необхідно виконати наступну послідовність команд:
»Хmiп=2Л(I/6); % координата мінімуму потенціалу
»gamma=80; % коефіцієнт, що входить в без вимірного
о/с рівняння Шредінгера (16,22)
» Emin=-l; o/r мінімальне значення енергії
» Еmaх=-10Л-4; % максимальне значення енергії
» z = Action(Emin,Emax,Xmin,gamma); % обчислення залежності S(EI
» tigure(1);plot(z(:,1),z(:,2» % візуалізація залежності S(E)
» [Xleft,Xright,EL] = Spectr(z,Xmin) % обчислення енергетичного
% Спектру коливань двухатомной
% молекули
» EL % висновок значень енергетичного спектру
EL=
Columns 1 through 7
-0.9346 -0.8120 -0.7002 -0.5987 -0.5071 -0.4249 -0.3519
Columns 8 through 14
-0.2875 -0.2312 -0.1825 -0.1411 -0.1064 -0.0778 -0.0548
Columns 15 through 16
-0.0368 -0.0233
Для реалізації даного алгоритму створимо m-файл PТr.m, що містить опис функції, що повертає координати точок фазової тpaeкторії для кожного свого значення енергії.
% Лістнг 'файлу PTr.m
function z = PTr (EL, Xleft, Xright, gamma, Np)
% Функція, що повертає координати точок фазової траєкторії
% Для кожного свого значення енергії
N=length(EL);
k=I:Np;
for i=I:N
dx=(Xright(i)-Хlеft(i) )/(Np-l);
x(k)=Xleft(i)+dx*(k-l);
for j=I:Np
Z(j,I)=x(j);
Z(j,2 )=real(p(x(j),EL(i),gamma));
end;
for j=Np+l:2*Np
Z(j,I)=x(2*Np-j+ 1);
Z(j,2)=-Z(2*Nр-j+ 1,2);
end;
Z(2*Np+l,I)=x(I);
Z(2*Np+l,2)=Z(1,2);
if i==l
Z=z;
else
z=саt(З,z,Z) ;
end;
end;
function z=p(x,E,gamma)
% Функція, що повертає значення імпульсу
z=gamma*(E V(x)). ЛО.5;
functiOll z=V(x)
% Функція, що повертає значення потенціалу
% Лейнарда-Джонсона
z=4*(1./x. л 12-1./x. Л6);
Далі необхідно виконати наступну послідовність команд:
» Хmiп=2Л(1/6); % координата мінімуму потенціалу
» gamma=80; % коефіцієнт, що входить в без вимірне
% рівняння Шредінгера (16.22)
»Emin=-l; % мінімальне значення енергії
» Еmах=-lОЛ-4; % максимальне значення енергії
» z = Action(Emin,Emax,Xmin,gamma); % обчислення залежності S(E)
» [Xleft,Xright,EL] = Spectr(z,Xmin) % обчислення енергетичного
% Спектру коливань
% Двоатомних молекули
» Np=2000; % число точок однієї фазової траєкторії
» Ph=PTr(EL,Xleft,Xright,gamma,Np); % обчислення координат точок
% Фазових траєкторій для кожного
% Значення енергетичного спектру
% Візуалізація фазових траєкторій
» plot(Ph(:,1,1),Ph(:,2,1),'k')
» hold оп
» for k=2:length(EL)
plot(Ph(: ,1,k),Ph( :,2,k), 'k');
end;
» hold off
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Основна:
1 Поршнев С. В. Комп’ютерне моделювання фізичних процесів в пакеті MATLAB. – М.: Гаряча лінія – Телеком, 2003. – 592 с.
2 Храмов В. Ю. Розрахунок елементів лазерних систем для інформаційних та технологічних комплексів. – СПб: СПбДУ ИТМО, 2008, 79 с.
Додаткова
3.Рейф Ф.Статична фізика М Наука 1972
4. Metropolis N Rosenbluth A W Teller A H Equation of state
calculations for fast computing machines, j, Chem, Phys, 6, 1087, 1953,
5. Bhanot G" Creutz М., Neuberger Н., Microcanonical simulation of Ising system, Nucl, Phys, 235,417,1984,
6. Creutz М" Microcanonical Monte Simulation, Phys, Rev, Letts, 50,1411,1983,
Навчальне видання
Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Квантова електроніка» для студентів всіх форм навчання напряму 6.050802“Електронні пристрої та системи” та 6.050801 «Мікро та наноелектроніка»,
укладач:
Литвиненко В.А.
Підписано до друку ___________ 2012р.
Формат________Обсяг ______др. арк.
Тираж ______екз. Заказ