3.5. Винтовая неустойчивость в системах типа «токамак»
Рассмотрим теперь
винтовую неустойчивость применительно
к установке типа «токамак». В токамаке
тороидальное поле (в случае цилиндра с
отождествленными концами поле в
направлении оси z)
существенно превышает полоидальное,
.
Плазма занимает центральную часть
цилиндра,
.
Вакуум занимает область
.
Следовательно, в энергетический принцип
должен включать энергию поверхности и
вакуумной области. Энергия поверхности
имеет вид
.
(3.5.1)
Из условия равновесия
имеем:
.
(3.5.2)
На
границе «плазма-вакуум» полоидальное
магнитное поле непрерывно, производная
также непрерывна, то есть
.
(3.5.3)
Подставляя (3.5.3) в (3.5.1), находим, что
. (3.5.4)
Вычислим теперь
вклад
от вакуумной области
.
(3.5.5)
В вакуумной области
магнитное поле можно представить
как градиент скалярной функции
,
.
Разлагая
в ряд Фурье по
и
,
получаем
.
При интегрировании
по
и
остаются только те члены, для которых
.
Тогда
.
(3.5.6)
Введем величину
.
Подставляя это выражение в (3.5.6), получаем
.
(3.5.7)
Таким образом, функции и являются решениями уравнений Эйлера:
(3.5.8)
(3.5.9)
Решение уравнения
(3.5.9) c
граничным условием
таково:
(3.5.10)
В пределе
выражение
(3.5.10) упрощается:
,
(3.5.11)
а функционал, отнесённый к единице длины системы, принимает вид
.
(3.5.12)
Пусть в цилиндре
с отождествлёнными концами на одном
периоде укладывается
периодов возмущения. Тогда
,
и
.
(3.5.13)
В результате получаем функционал в следующем виде:
(3.5.14)
Здесь
;
;
Первый член в
правой части (3.5.14) отрицателен, если
,
или
. (3.5.15)
Учитывая (3.5.2), функцию можно переписать так:
Оценим теперь
вклад в
последнего (интегрального) члена. Пусть
.
Тогда обе функции
и
имеют порядок
,
и последним членом в (3.5.14) можно пренебречь.
В этом случае величина
становится отрицательной, если
, (3.5.16)
и любое начальное
возмущение нарастает. Скорость нарастания
возмущения можно оценить, используя
уравнение (2.2.3). В фурье-представлении
,
где
– инкремент неустойчивости. С помощью
(2.3.3) получаем
.
(3.5.17)
Здесь
.
Максимальную величину инкремента по порядку величины можно оценить так:
.
(3.5.18)
Легко видеть, что этот инкремент по порядку величины равен отношению альфвеновской скорости к радиусу плазмы и может составлять в токамаке по порядку величины 10-8 с, то есть развитие такой неустойчивости является одним из наиболее быстрых процессов.
Пусть теперь
.
Тогда функция
может быть порядка единицы в некоторой
области значений
:
,
(3.5.19)
где
.
Зависимость
от
качественно представлена на рис. 10.
Рис. 10. Качественная зависимость квадрата инкремента от
для различных мод
Как видно, области
неустойчивости чередуются с областями
устойчивости, где
.
Именно в этих областях и работает
токамак.
3.6. Ионная температурно-дрейфовая неустойчивость.
ITG-mode
В целом ряде экспериментов на токамаках оказывается, что зависимости от малого радиуса температуры и плотности оказываются подобными, то есть температура пропорциональна некоторой степени плотности. Возможно, что это явление связано с температурно-дрейфовой неустойчивостью.
Эту неустойчивость
следует рассматривать в двухжидкостной
модели. Будем считать, что характерная
частота неустойчивости много меньше
электронной ленгмюровской частоты,
.
В этом случае можно пренебречь инерцией
электронов. Будем предполагать также,
что продольная теплопроводность
достаточно высока, и как ионная, так и
электронная температуры вдоль силовой
линии не меняются,
.
В этом приближении уравнение импульса
для электронов упрощается,
,
или в фурье-представлении
. (3.6.1)
Здесь мы положили
.
Положим также, что невозмущённая плазма
квазинейтральна,
.
Отсюда мы легко получаем, что электроны
распределены по Больцману:
.
(3.6.2)
При рассмотрении
ионов будем полагать, что поперечная
длина волны много больше ионного
ларморовского радиуса,
.
Кроме того, положим
.
Это позволяет пользоваться МГД-уравнениями,
то есть затуханием Ландау можно
пренебречь.
Уравнение непрерывности в фурье-представлении дает
.
(3.6.3)
Параллельная составляющая уравнения импульса имеет вид:
. (3.6.4)
Вместо уравнения энергии, пренебрегая теплообменом, воспользуемся уравнением адиабаты. При этом показатель адиабаты положим равным 5/3:
.
(3.6.5)
Будем считать, что скорость ионов определяется дрейфом в электрическом поле.
.
(3.6.6)
Линеаризуем
уравнение (3.6.6). Все величины в первой
скобке – первого порядка малости.
Поэтому произведение во второй скобке
можно вычислить в нулевом приближении:
.
В нулевом приближении все величины
зависят только от радиуса, поэтому
.
Наиболее опасны возмущения, вытянутые
вдоль силовых линий. Поэтому будем
считать, что
.
Имея в виду, что
,
окончательно получаем
.
(3.6.7)
Введем дрейфовые частоты
Размер
(3.6.8)
Здесь
– тепловая скорость,
– ларморовский радиус. Для электронов
.
Для ионов
.
Введем также величинуηj:
;
.
(3.6.9)
Уравнение ((3.6.7) теперь перепишется так:
.
(3.6.9)
Необходимо учесть также условие квазинейтральности
.
(3.6.10)
Система уравнений (3.6.2)–(3.6.4) и (3.6.10) имеет решение в том и только в том случае, если её определитель обращается в ноль, то есть
.
(3.6.11)
Рассмотрим случай
.
Дисперсионное уравнение приобретает
вид:
или
.
(3.6.12)
Условие устойчивости имеет вид
.
(3.6.13)
Это означает, что температура от периферии к центру не должна нарастать слишком быстро по сравнению с плотностью.
В реальном токамаке
вследствие ненулевого шира при удалении
от рациональной поверхности нарастает
величина
и становится порядка
.
В этом случае необходимо кинетическое
рассмотрение. Оно даёт следующее условие
устойчивости:
.
(3.6.14)
Здесь
,
I0
и
I1
– модифицированные функции Бесселя.
В случае длинноволновых
(в перпендикулярном магнитному полю
направлении) волн, то есть для
это условие упрощается:
.
(3.6.15)
Заметим, что при
мода становится более устойчивой, чем
в обратном случае. Этот факт был сначала
обнаружен экспериментально на установке
TFTR,
на которой в результате нейтральной
инжекции ионная температура впервые
превзошла электронную. При этом формально
критерий устойчивости, полученный ранее
для
,
был нарушен, а неустойчивость не
наблюдалась. И лишь позднее этот эффект
был объяснен теоретически О.П. Погуце
c
сотрудниками.