Лабораторная работа № 3 Цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением катушки и конденсатора. Резонанс напряжений

Цель работы: изучить явления, происходящие в неразветвленных цепях переменного синусоидального тока при изменении соотношений величин индуктивности и емкости; ознакомиться с явлением резонанса напряжений.

Основные понятия и определения

Резонанс напряжений – это явление, возникающее в цепи переменного синусоидального тока при последовательном соединении индуктивных и емкостных элементов, в случае, когда полное реактивное сопротивление цепи равно нулю.

Рассмотрим процессы в цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Последовательное соединение катушки и конденсатора

Реальная катушка обладает индуктивным сопротивлением Х_L = L и активным сопротивлением R, где  – угловая частота переменного тока, L – индуктивность катушки. При прохождении тока через катушку, электрическая энергия расходуется на нагревание провода катушки. Скорость преобразования электрической энергии в тепловую учитывается с помощью величины, называемой активной мощностью P = R·I². В цепи постоянного тока катушка обладает только активным сопротивлением, так как угловая частота  = 2 =0 и Х_L = L =0. Поэтому

,

где U – постоянное напряжение, приложенное к катушке, а I – сила постоянного тока, протекающего через катушку.

Эквивалентная схема замещения катушки может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного идеальных элементов (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2. Эквивалентная схема замещения катушки

Напряжение на катушке U_к можно разложить на две составляющие – активную U_ак и индуктивную U_L Векторная диаграмма напряжений и тока для катушки приведена на рисунке 3.3.

Рисунок 3.3. Векторная диаграмма напряжения и тока для катушки

Напряжение U_к можно измерить на выводах катушки с помощью вольтметра, ток I – с помощью амперметра. Угол сдвига фаз между током и напряжением катушки _к можно определить из формулы:

P_к = U_к·I·cos_к,

если измерить с помощью ваттметра активную мощность катушки P_к. Составляющие напряжения U_к, U_L и U_ак можно вычислить из треугольника напряжений ОАВ (рисунок 3.3): U_ак = U_к·cos_к или определить графически, опустив перпендикуляр из конца вектора U_к (точка А на рисунке 3.3) на линию вектора I.

Конденсатор в цепи переменного тока обладает емкостным сопротивлением , где C – емкость конденсатора. Следует указать, что в конденсаторе также имеются активные потери энергии в диэлектрике. Однако величина этих потерь настолько мала, что ими можно пренебречь. На схеме замещения конденсатор можно представит в виде идеального емкостного элемента с параметром С, равным емкости конденсатора.

Последовательное соединение катушки и конденсатора изображено в виде схемы замещения на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4. Схема замещения цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора

При подключении такой цепи под напряжение U в ней возникает ток I. Вектор активной составляющей напряжений на катушке будет совпадать по направлению с вектором тока İ, так как соответствующие синусоиды мгновенных значений совпадают по фазе:

и . (3.1)

Вектор индуктивного напряжения опережает по фазе вектор тока İ на 90° (рисунок 3.5), так как синусоида напряжения U_L на индуктивности опережает по фазе синусоиду тока i на 90°.

(3.2)

Вектор емкостного напряжения отстает по фазе от вектора тока İ на 90° (рисунок 3.6), так как синусоида напряжения на емкости при нулевых начальных условиях отстает от синусоиды тока i на90°.

(3.3)

Рисунок 3.5. Векторная диаграмма напряжения и тока при индуктивной нагрузке цепи

Рисунок 3.6. Векторная диаграмма напряжения и тока при емкостной нагрузке цепи

Для рассматриваемой цепи уравнений по второму закону Кирхгофа имеет следующий вид:

, (3.4)

где ; ; .

Согласно уравнению (3.4) и рисунков 3.5 и 3.6, векторная диаграмма напряжений цепи (рисунок 3.4) будет иметь вид, показанный на рисунке 3.7, где вектор совпадает по фазе с вектором İ, а вектор опережает по фазе на 90˚ вектор тока İ. Сумма векторов и дает вектор напряжения катушки:

,

опережающий по фазе ток на угол _к.

На диаграмме (рисунок 3.7) напряжения и :

;

.

Вектор отстает по фазе на 90˚ от вектора тока İ. Сумма векторов , и дает вектор напряжения сети , опережающий ток по фазе на угол .

Разделив и умножив стороны получившегося треугольника (рисунок 3.7) на величину тока İ, можно получить подобные треугольники сопротивлений и мощностей соответственно.

Полное сопротивление последовательной цепи z и коэффициент мощности cos можно определить следующим образом:

(3.5)

(3.6)

Рисунок 3.7. Векторная диаграмма тока и напряжений с последовательным соединением R, L и C элементов при X_L > X_C

Из векторной диаграммы напряжений (рисунок 3.7) получим формулу тока I, которая является выражением закон Ома для последовательной цепи переменного тока:

(3.7)

Соотношение между полной S, активной P и реактивными Q_L и Q_C мощностями:

(3.8)

Изменяя величину емкости в цепи, можно изменять соотношение между емкостными и индуктивными сопротивлениями и напряжениями:

и

и получать различные значения угла сдвига φ между вектором тока İ и вектора напряжения сети согласно уравнению (3.6). Если величина , то и U_L > U_C, т.е. в цепи преобладает индуктивное сопротивление Х_L и напряжение , поэтому вектор тока İ отстает по фазе от вектора напряжение сети на угол φ (см. рисунок 3.7).

Если , наоборот, преобладает емкостное сопротивление X_C и напряжение , поэтому вектор тока İ опережает по фазе вектор напряжения сети (рисунок 3.8).

Рисунок 3.8. Векторная диаграмма тока и напряжений с последовательным соединением R, L и C элементов при X_L < X_C

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление будет равно емкостному:

(3.9)

а, следовательно, будут равны между собою индуктивное и емкостное напряжения (рисунок 3.9).

; , (3.10)

т.е. полная взаимная компенсация индуктивного и емкостного напряжений:

.

При резонансе напряжений угол сдвига φ = 0, следовательно:

cos φ = 1 (3.11)

Вектор вектора напряжение сети будет равен вектору активной составляющей напряжения на катушке : (рисунок 3.9).

Полное сопротивление цепи при резонансе z_рез принимает минимальное значение z_рез = R, так как X_L – X_C = 0, а, следовательно, ток при резонансе I_рез и активная мощность принимают максимальные значения:

,

(3.12)

Рисунок 3.9. Векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе напряжений (X_L = X_C)

Реактивная мощность при резонансе равна нулю:

Q = I(U_L – U_C) = 0; Q_L – Q_C = 0. (3.14)

Индуктивное U_L и емкостное U_C напряжения в раз больше напряжения сети U:

.

Поэтому резонанс напряжений может оказаться опасным для установки. При испытании таких цепей требуется особая осторожность. Явление резонанса напряжений, т.е. взаимной компенсации реактивных напряжений ( ), а последовательно, и реактивных мощностей (Q_L – Q_C = 0) объясняется тем, что мгновенные значения напряжений на индуктивности U_L и на емкости U_C в любой момент времени равны и имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если, например, индуктивность берет энергию из сети для создания магнитного поля, то в этот момент конденсатор, разряжаясь, отдает энергию в сеть.

Происходит взаимная компенсация энергии, потребляемой ими из сети.

Таким образом, при резонансе полная энергия, потребляемая из сети, расходуется только на нагревание резисторного элемента цепи.

Кривая зависимости z сопротивления цепи от величины емкости С показана на рисунке 3.10. При величина z минимальна и равна z_рез = R.

На рисунке 3.10 показаны также кривые зависимости тока I и коэффициента мощности cosφ от величины емкости C. При C = C_рез ток I имеет максимальное значение , при всех других значениях емкости .

Рисунок 3.10. Графики зависимости полного сопротивления цепи z, тока I и коэффициента мощности cosφ от емкости (при L = const)

Из выражения (3.9) видно, что резонанс напряжений в цепи может быть получен изменением индуктивности L или емкости C при неизменной частоте сети f или изменением частоты сети при заданных постоянных L и C.

Рисунок 3.11. Схема соединений электрической цепи с последовательным включением катушки индуктивности и батареи конденсаторов