2. Аналіз активних фільтрів

У завданні є пункт дослідження частотних характеристик активного фільтру, побудованого на основі ОУ. Розглянемо деякі аспекти такого аналізу, що проводиться з використанням обчислювальної техніки.

2 .1. Схема заміщення реального ОП приведена на рис.6.

Рис.6. Схема заміщення ОП з однією частотою загасання

Вона відображує кінцеві вхідні R_Вх– и R_Вх+ і вихідне R_Вих опори і коефіцієнт посилення K₀, а також обмеженість частотного діапазону ОП. Ці параметри приведені в довідниках [7,8]. Внутрішній RC-коло моделює поступове зменшення коефіцієнта посилення K_U(j)_­ із зростанням частоти  згідно із законом

(18)

по якому можна визначити параметри цього RC-кола. При відомих значеннях коефіцієнта посилення на нульовій частоті K₀ та f_ЕУ – частоті одиничного посилення - постійна часу RC-кола

. (19)

Вибір значення параметрів R і C визначається лише тим, аби їх результат множення дорівнював _RC.

Заміна ідеального ОП схемою заміщення, змальованою на рис.6, дає можливість провести дослідження реального вибіркового ланцюга при роботі на задане навантаження Z_H (рис.7).

2.2. Метод вузлових потенціалів є найбільш відповідним в нашому випадку методом формування рівнянь електричної рівноваги ланцюга. Для спрощення розрахунків слід замінити джерела напруги на еквівалентні джерела струму.

Р ис.7. Эквівалентна схема ARC-кола

Система має п'ять рівнянь - по числу незалежних вузлів схеми:

Вузли	1	2	3	4	5
1	YE + Y1	0	-Y­1	0	0
2	0	Y­4+Y­5+YH+YВих	-Y­4	-Y­5	-K0YВих
3	-Y­1	-Y­4	Y­1+Y2+Y3+Y4	-Y­3	0
4	0	-Y­5	-Y­3	Y­3+Y­5+YВХ-	0
5	0	0	0	-1/R	1/R+jC

* (20)

Всі потенціали вузлів збігаються з напругою вузлів, це враховано в цій системі.

Розрахунок вихідної напруги U_2­ на опір навантаження при рішенні системи (20) може бути виконаний, наприклад, за допомогою математичного пакету MATHCAD або систем моделювання DESIGNLAB(PSpice), Electronic Work Banch, MICROCAP. Для здобуття частотних залежностей необхідно циклічно вирішувати систему (20) з кроком  у певному діапазоні частот, наприклад, при аналізі частотних характеристик НЧ-фільтру від 0 до _В.

2.3. Часові характеристики (імпульсна q(t) і перехідна h(t)) знаходяться безпосередньо по коефіцієнту передачі K_U(p), точніше по його нуль-смуговому представленню. Передбачимо, що обчислені полюси , визначувані як коріння полінома знаменника дробу (1):

где (21)

Якщо позначити реальну і уявну складові полінома чисельника при підстановці в нього полюса p₁ у вигляді:

(22)

то при підстановці комплексно зв'язаного полюса p₂ = p₁^* значення полінома чисельника так само буде комплексно зв'язаним :

(23)

Для простих полюсів зворотне перетворення Лапласа від K_U(p) знаходиться досить просто (наслідок вживання вирахувань):

(24)

де N - повна кількість полюсів.

З врахуванням позначень (22) і (23) імпульсна характеристика досліджуваної схеми набере вигляду:

(25)

2.4. Нуль-полюсне зображення вхідної дії, заданої у вигляді кусочно-ламаної залежності (рис.8,а) легко отримати по його похідній (рис.8,б). Прямокутний імпульс амплітудою U₀ /t₁ визначений на інтервалі (0, t₁) має зображення

(у формулі приведено позначення гіперболічного синуса sh(x) = (e^x –e^-x)/2 )

Р ис. 8. Кусочно-ламана залежність (а) і її похідна (б).

Аналогічно другий прямокутний імпульс R₂(t) має зображення

Зображення дії є сума зображень імпульсів R₁(p) та R₂(p), ділена на p (оскільки функція e(t) є інтеграл від її похідної de(t) /dt):

(26)

Комплексно-значна функція E(p) не має полюса в нулі (p = 0), оскільки вираження в квадратних дужках при p 0 так само прагне до нуля, тобто

lim E(p) = S < ,

p 0 (27)

де S – площа під кусочно-ламаною залежністю e(t).