7.1.2. Гистограмма распределения элементов в серии

Рассмотрим партию резисторов, выпускаемых заводом, с определенным одним номинальным сопротивлением. Выбрав из партии выпускаемых элементов ограниченное количество резисторов (например, 100…1000 штук), мы получаем так называемую выборку резисторов.

Для того чтобы определить, как часто в выборке встречаются резисторы с теми или иными значениями R_i, строится гистограмма значений резисторов данной серии.

Процесс построения гистограммы на основе экспериментальных данных описан ниже.

Гистограмма выборки представляет собой график, на оси абсцисс Х которого откладываются значения исследуемой величины, например, сопротивления резистора R_i, на оси Y – значения вероятности f _R появления того или иного значения сопротивления. Вероятность f_R может быть интерпретирована как частота попадания в ограниченный интервал значений R сопротивлений (рис. 7.1, а).

а) б)

Рис. 7.1. Гистограмма распределения значений R (a) и теоретическая кривая Гаусса (б)

Очевидно, что наиболее часто (с большей вероятностью f _мах) в выборке появляются значения сопротивлений, близких к номинальному значению R_н, редко – сопротивления, относящиеся к крайним значениям исследуемого диапазона.

Теоретическая кривая, описывающая частоту появления значения сопротивления в серии, в идеальном случае имеет колоколообразную форму (рис. 7.1, б) и называется кривой нормального распределения (кривая Гаусса, кривая Лапласа).

Математически кривая Гаусса описывается выражением

, (7.1)

где σ – среднее квадратическое отклонение; Х – переменная; X_вер – наиболее вероятное значение, соответствующее в идеальном случае среднему значению выборки (в нашем случае – номинальному значению сопротивления R_н).

Характеристики данного распределения описаны в рекомендуемой литературе [21], [22]. Известно, что 99,73 % площади под кривой лежит в пределах шести средних квадратических отклонений σ (рис. 7.1, б), т. е. по три средних квадратичных отклонения в каждую сторону от среднего значения X_вер (правило 3σ). Таким образом, за пределами трехсигмовых значений лежит не более 0,155 % значений искомого распределения. Аналогично 95,49 % площади лежит в пределах четырех σ; 68,32 % площади – в пределах не более 2σ.

С учетом вышесказанного, на практике в результате исследования выборки резисторов производится построение гистограммы значений резисторов серии, определяется среднеквадратическое отклонение, характеризующее искомые параметры выборки.

7.1.3. Экспериментальное построение гистограммы выборки

Гистограмму выборки строим по следующему алгоритму.

1. Выбираем определенное количество произвольных элементов, например, резисторов, с одним и тем же номинальным сопротивлением. Для надежного результата в выборку включаем до N = 100 штук элементов.

2. Используя приборы (мосты переменного тока) экспериментальным путем определяем значения, например, сопротивлений R_iэксп всех элементов исследуемой выборки.

В результате эксперимента записываем в таблицу 7.2 всю совокупность значений (в произвольном порядке) резисторов по мере того, как производится измерение: {X₁, X₂, …, X_i, …, X_n}. Например, получено 100 значений:

30, 25; 29,45; 36, 51; ….., 40,15; …; 29,54; …., 31,35;….., 28,54;…., 37,45.

3. Производим построение вариационного ряда по полученным экспериментальным данным.

Вариационным рядом называется набор {Z₁, Z₂, …, Z_i,…,Z_N} экспериментальных значений сопротивлений резисторов, который получаем с учетом исходного массива данных {X₁, X₂, …, X_i, …, X_n} путем расстановки их в порядке возрастания от X_min до X_max. Таким образом, выполняется условие

X_min  Z₁ …   Z_i < =…   Z_n = X_max. (7.2)

Заметим, что наиболее удобно обрабатывать вариационный ряд с помощью пакета EXCEL.

Допустим, что в нашем случае на основании экспериментальных данных получен следующий вариационный ряд (табл. 7.2).

Таблица 7.2

№№	Эксперимент	Вариационный ряд	Расчет интервалов	№ интервала	К-во значений Nm в интервале	Частота fm, %
	Rэксп, Ом	Zi, Ом	K = 1+ 3,2ln100 = 15,7 ≈ 16 Zmin = 26,34 Ом; Zmax = 40,15 Ом; Rинт = (40,15-26,34)/16 ≈ ≈ 0,86 Ом Примерные границы интервалов: 1: 26,3 --- 27,2 2: 27,2 ---28,06 … 15: 38,48---39,29 16: 39,29---40,15	1	1	1·100/100 = 1
1	30,25	26,34		2	1	1·100/100 = 1
2	29,45	27,32		3	3	3·100/100 = 3
3	36, 51	…		4	4	4
…		28,54		5	7	7
…	26,34	29,45		6	8	8
25	40,15	…		7	9	9
…		…		8	14	14
…		…		9	13	13
40	29,54	30,25		10	10	10
	27,32	…		11	9	9
…		…		12	7	7
80	31,35	31,35		13	8	8
...		36, 51		14	3	3
99	28,54	…		15	2	2
100	37,45	40,15		16	1	1
Всего, %						100

4. После построения и записи (в лабораторной тетради) вариационного ряда приступаем к подготовке расчетных данных для построения гистограммы выборки, которая, как указано выше, представляет собой график зависимости вероятности f обнаружения в выборке того или иного значения параметра (сопротивления резистора R_i, емкости конденсатора C_i, индуктивности L_i).

Гистограмму выборки (например, сопротивления резисторов) строим следующим образом (табл. 7.2):

а) диапазон значений от R_min до R_max разбиваем на определенное количество интервалов K, число которых определяем (округляя) с учетом известного числа элементов выборки по оценочной формуле

K = 1 + 3,2lnN, (7.3)

где lnN – натуральный логарифм числа N (при N = 100 значение K округляют до ближайшего целого числа; K ≈ 16);

б) определяем длину интервала на оси Δ X_инт:

ΔX_инт = (X_max  X_min)/K, (7.4)

где ΔX_инт также округляем для удобства вычислений (R_инт ≈ 0,86 Ом);

в) точку, соответствующую середине области изменения выборки (центр распределения) Х ≈(X_max + X_min)/2, принимаем за "центр" выборки и центр некоторого интервала, после чего находим границы и окончательное количество (значение K может быть скорректировано) интервалов, так, чтобы они в совокупности перекрывали всю область от X_min до X_max (на оси Х желательно отметить начало и конец каждого интервала);

г) проводим анализ построенного вариационного ряда.

Подсчитываем число N_m экспериментальных значений, например, сопротивлений, попавших в каждый интервал между Х_m и (X_m + ΔX_инт), причем N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

X_m  Z_i   Х_m + ΔX_инт, (7.5)

где Х_m и (X_m + ΔX_инт) – границы m-интервала.

Отметим, что значения Z_i, попавшие на границу между (m – 1) и m-интервалами, относят к m-интервалу;

д) подсчитываем относительную частоту

f_m = N_m·100/N (%), (7.6)

как относительное количество наблюдений, попавших в m-й интервал.

Например, если при N = 100, в первый (от минимального значения) интервал попало 3 значения, то значение f₁ = 3/100 = 0,03 или 3 %.

е) Выбираем оси: ось абсцисс - исследуемый параметр, например, R, (Ом, кОм) - диапазон измеренных значений сопротивлений; ось ординат – частота попадания f_m в тот или иной интервал значений.

Масштаб на осях зависит от полученных расчетных экспериментальных значений, например, максимальное значение f_маx частоты определяет масштаб оси ординат (рис. 7.2).

ж) строим гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m-интервале равно f_m (рис. 7.2);

з) через ″верхние″ значения "ступеней" проводим плавную линию, которая завершает построение гистограммы.

При малых значениях N кривая f_m(X) (рис. 7.2) может значительно отличаться от теоретической зависимости (7.1). Максимальному значению f_max соответствует наиболее вероятное значение Х_вер в данной выборке. При увеличении значения n гистограмма переходит в плавную кривую f(X), которая описывается зависимостью (7.1) кривой Гаусса (рис. 7.1, б).

Границы по оси X, соответствующие значению среднего квадратического отклонения σ, примерно определяем исходя из условия, что в интервал (X_вер  σ,…, X_вер + σ) попадает примерно 68 % всех значений.

Рис. 7.2. Гистограмма, построенная по экспериментальным данным

С учетом гистограммы, приведенной на рис. 7.2, рассчитываем величину среднего квадратического отклонения: σ = (35,1 – 30,5)/2 ≈ 2,3 Ом.

На практике экспериментальное распределение может отличаться от распределения Гаусса в силу различных причин, в том числе, малого числа N.

Экспериментальное значение допуска D определяем по соотношению

D  3σ·100/Х_ср, %. (7.7)

Т.е. по экспериментальным данным можно оценить значение D = 3·2,3·100/33 ≈ 20 %. Следовательно, можно сделать вывод, что исследуемая выборка резисторов описывает ряд E6, значение сопротивления исследуемой выборки составляет R_н = 30 Ом ± 20 % = (30 ± 6) Ом.