Функции от случайных векторов

Пусть – двумерный с заданным ЗР и СВ , где – неслучайная скалярная функция двух переменных, область определения которой содержит множество возможных значений вектора . Рассмотрим задачу нахождения ЗР СВ .

Пусть – , принимающий конечное число значений с вероятностями , (случай счетного числа значений рассмотреть самостоятельно). Тогда – ДСВ и ее возможными значениями , являются различные среди значений ( может быть). При этом вероятности значений аналогично одномерному случаю определяются по формуле:

, . (4.8)

Если – с ПВ , то является НСВ, если функция дифференцируема по каждому из своих аргументов. При этом ФР СВ определяется формулой:

, (4.9)

а ПВ находится дифференцированием по .

Композиция (свертка) законов распределения

Часто на практике возникает задача определения ЗРСВ , являющейся суммой координат . Если при этом одну из СВ интерпретировать как полезный сигнал, а вторую СВ как шум, то в приложениях эта задача известна как исследование модели «сигнал + шум».

Применяя формулы (4.8) и (4.9) для функции получаем следующие результаты.

Если - , принимающий конечное число значений с вероятностями , , то – ДСВ и ее возможными значениями , , являются различные среди значений . Вероятности значений определяются по формуле:

, (4.10)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

Если - сПВ , то СВ является непрерывной и ФР СВ имеет вид:

а, после расстановки пределов по области ,

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:

(4.11)

(в точках непрерывности ПВ , и ).

Если дополнительно известно, что координаты являются независимымиСВ, то:

• СВ является дискретной, если и - ДСВ, и имеет ЗР, определяемый в соответствии с (4.10) вероятностями:

, (4.12)

(при этом предполагается, что вероятность , если ни при каком j, и аналогично вероятность , если ни при каком i).

• СВ является непрерывной, если и - НСВ, и имеет в соответствии с (4.11) ПВ:

, (4.13)

где и - ПВСВ и соответственно;

• СВ является непрерывной, если - дискретная а - непрерывная СВ, и имеет ПВ:

, (4.14)

где и , - значения СВ и соответствующие им вероятности, а - ПВ СВ .

Получается данныйрезультат комбинированием дискретного и непрерывного случаев. Вначале находится ФР НСВ с учетом независимости СВ и :

,

а затем дифференцированием по получаем для ПВ выражение (4.14).

Задача определения ЗР суммы независимых СВпо ЗР слагаемых в теории вероятностей называется задачей композицииЗР, а в функциональном анализе – сверткой функций. По этой причине формулу (4.13) кратко можно записать в виде (где означает операцию свертки), а интегралы в ней называют интегралами свертки.

Замечание. Все результаты, полученные для двумерного СВ, без труда обобщаются и на многомерный случай.

Пример. Пусть , и СВ и независимы. Найти ПВ СВ .

Решение. Для простоты положим (общий случай рассмотреть самостоятельно).Тогда, в соответствии с интегралом свертки (4.13), имеем:

(при этом был использован тот факт, что - интеграл Пуассона)

Таким образом, СВ .

В общем случае, когда , СВ .

По индукции можно доказать, что если СВ независимы (в совокупности) и , то СВ их любая линейная комбинация также имеет нормальный ЗР:

.