Лабораторна робота № 1

Тема. Розв’язання системи лінійних рівнянь методом Крамера

Завдання. Для даної системи лінійних рівнянь (СЛР) знайти розв’язок за допомогою формул Крамера. Виконати перевірку знайденого розв’язку.

Хід виконання.

1. Записати свій варіант системи лінійних рівнянь (у вигляді заданої розширеної матриці),

2. Записати СЛР,

3. Записати СЛР у матричному вигляді, а також у компактному матричному вигляді, ввівши відповідні позначення,

4. Знайти головний визначник СЛР,

5. Створити програмний додаток розв’язання СЛР з цілими коефіцієнтами,

6. Знайти головний, допоміжні визначники і розв’язок СЛР за допомогою формул Крамера, використавши створений додаток,

7. Виконати перевірку знайденого розв’язку,

8. Оформити звіт та захистити лабораторну роботу.

Теоретичні питання

1. Лінійний векторний простір. Аксіоми лінійного векторного простору.

2. Лінійна оболонка, лінійна залежність і незалежність системи векторів.

3. Базис системи векторів. Базис лінійного простору. Розмірність лінійної оболонки і розмірність векторного простору.

4. Ранг системи векторів. Методи знаходження рангу системи векторів.

5. Рядковий і стовбцевий ранги матриць. Ранг матриці. Знаходження рангу матриці за методом обвідних визначників.

6. Система лінійних рівнянь. Головна та розширена матриці системи. Сумісність і несумісність СЛР. Теорема Кронекера-Капелі.

7. Головний і допоміжні визначники квадратної СЛР. Формули Крамера. Необхідні та достатні умови використання формул Крамера.

Приклад виконання роботи

Лабораторна робота № 1

Знаходження точних розв’язків СЛР за формулами Крамера

Варіант 33.

Задана розширена матриця системи лінійних рівнянь

Запишемо СЛР, яка відповідає цій матриці

(1.1)

Представимо систему (1.1) у матричному вигляді:

, (1.2)

або , де вектор-рядок невідомих, вектор-рядок правих частин,

– головна матриця системи.

Тут через позначено операцію побудови транспонованої матриці ( ).

Знайдемо головний та допоміжні визначники.

, ,

, ,

, .

Використовуючи власний програмний додаток, одержуємо:

, , , , ,

Знайдемо вектор розв'язку за формулами Крамера. Головний визначник . Тому система (1.1) сумісна і існує єдиний її розв'язок. За формулами Крамера маємо:

, , , , .

Перевірку знайденого вектора розв'язку здійснюємо підстановкою знайдених значень невідомих у ліві частини рівнянь системи і одержання значень правих частин. При маємо:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Отже, праві частини СЛР дорівнюють її лівим частинам. Тому справді є розв'язком системи (1.1).

Висновки.

1) Точні розв'язки CЛP з цілими коефіцієнтами мо­жуть бути цілими або дробовими числами. При перевірці одержаного розв'язку потрібно вести точні (без заокруглень) підрахунки з дробами (у вигляді чисельник/знаменник), щоб одержати при підстановці точні рівності правих і лівих частин СЛР.

2) Для розв’язання СЛР методом Крамера, необхідно, щоб по-перше, кількість рівнянь дорівнювала кількості невідомих, і по-друге, головний визначник системи не дорівнював нулю

Варіанти завдань

Для кожного варіанта наведено розширену матрицю СЛР.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.
31.		32.
33.		34.
35.		36.
37.		38.
39.		40.
41.		42.
43.		44.
45.		46.
47.		48.
49.		50.