Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
А
=
.
Найдем собственные значения матрицы
А:
=
0, (3 - )2
– 25 = 0, 2
- 6
– 16 = 0,
1 = -2, 2 = 8 – cобственные числа. Так как 1 и 2 отличны от нуля и разных знаков, то кривая – гипербола.
Найдем собственные векторы матрицы А.
Пусть = 1 = -2.
х1
= -х2
.
=
=
,
=
=
=
(
).
Пусть = 2 = 8.
х1
= х2
.
=
=
,
=
=
=
(
).
Выполняя преобразование
х = (х - у), у = (х + у),
матрицей которого является матрица
С
=
,
получим
8
(х)2
– 2 (у)2
-
х
-
у
- 13 = 0.
Выделим полные квадраты по каждой из новых переменных:
8
(х)2
-
х
= 8
- 4
– 2
(у)2
-
у
= -2
+ 9.
Уравнение кривой примет вид:
8 - 2 = 8.
Сделаем замену переменных, соответствующую сдвигу по каждой из координатных осей:
х
= х
-
, у
= у
+
.
Получим уравнение кривой:
8
(х)2
– 2 (у)2
=8 или 
-
= 1.
Это и есть результирующее уравнение гиперболы.
Результирующее преобразование координат имеет вид:
х = (х - у), где х = х + , у = у - , т.е.
х
=
=
(х
- у)
+ 2
у
=
(х
+ у)
=
=
(х
+ у)
– 1,
а каноническая система координат:
0 (2, -1), = - , = + .
3. Банк задач для самостоятельной работы
В задачах 1 – 6 найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных своими матрицами.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
.
Ответ.
1. 1
= 1,
= t (1, -1); 2
= 3,
= t (1, 1), t
0.
2. 1 = 7, = t (1, 1); 2 = -2, = t (4, -5), t 0.
3. 1 = -1, = t (1, -2); 2 = 5, = t (1, 4), t 0.
4. 1 = -2, = t (0, 19, 0); 2 = 1, = t (15, 8, -9),
3
= 9,
= t (11, 16, 11), t
0.
5. 1,2
= 1,
=
t (-4, 1, 1), 3
=5,
= t (1, 0, 0), t 0.
6. 1 = 2 = 3 = -1, = t (1, 1, -1), t 0.
В задачах 7 – 10 методом собственных векторов привести к каноническому виду следующие уравнения кривой второго порядка.
7. 5 х2 + 8 ху + 5 у2 = 9
8.
х2
- 2
ху + 5 у2
= 24
5 х2 + 4 ху + 2 у2 = 18
4 ху + 3 у2 = 36
Ответы.
7) 1
=1, 2
= 9; эллипс
+
= 1.
8) 1
=8, 2
= -2; гипербола
-
= 1.
9) 1
=1, 2
= 6; эллипс
+
= 1.
10) 1
=4, 2
= -1; гипербола
-
= 1.
В задачах 11 – 13 определить тип кривой второго порядка, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
х2 + 6 ху + у2 + 6х + 2у – 1 = 0.
х2 + 2 ху + у2 + 3х + у = 0.
9х2 + 4 ху + 6 2 + 16х + 8у – 2 = 0.
Ответ. 11) 1 =4, 2 = -2; гипербола 4 (х)2 – 2 (у)2 =1,
0
(0, -1),
=
,
=
;
12) 1
= 2, 2
= 0; парабола (х)2
= -
у,
0
,
=
,
=
;
13) 1
=5, 2
= 10; ‘эллипс
+ (у)2
= 1,
0
,
=
,
=
.
4. Варианты проверочных работ
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.
1.
А =
. Ответ.
1
= -1
= t (-1, 0, 1)
2,3
= 1 
=
t (1, k,
1), t
0.
2. А =
.
Ответ. 1 = 0 = t (3, -1, 2), t 0
2,3 = .
3. А =
.
Ответ. 1 = -2 = t (0, 0, 1)
2,3 = 1 = t (3, -6, 20), t 0.
4. А =
.
Ответ. 1,2,3 = 2 = t (1, 2, k), t 0.
5. А =
.
Ответ. 1 = 1 = t (-59, 3, -20)
2 = 2 = t (2, 0, 1)
3
= -2 
=
t (2, 0, -1), t
0.
6. А =
.
Ответ. 1 = 1 = t (0, 1, 0)
2 = -2 = t (-1, 0, 1)
3 = 4 = t (3, 4, 3), t 0.
7. А =
.
Ответ. 1 = 7 = t (7, 5, 6)
2 = 1 = t (0, 1, 2)
3 = -7 = t (0, -5, 6), t 0.
8. А =
.
Ответ. 1,2,3 = 1 = t (3, 1, 1), t 0.
9. А =
.
Ответ.
1,2
= 0 
= t (1, 2, 3)
3 = 1 = t (1, 1, 1), t 0.
10. А =
.
Ответ. 1 = 0 = t (1, 0, 1)
2 = 0 = t (1, 2, 3)
3 = -1 = t (4, -1, 6), t 0.
2. Определить тип кривой второго порядка.
1. 3х2 + 3у2 – 4ху + 4х + 4у + 1 = 0.
Ответ. 1 = 1, 2 = 5, эллипс.
2. х2 + у2 – 4ху + 2х + 4у + 1 = 0.
Ответ. 1 = 3, 2 = -1, гипербола.
3. 5х2 – 6ух + 5у2 – 2х + 3у - 32 = 0.
Ответ. 1 = 8, 2 = 2, эллипс.
4. 9 х2 – 24 ху + 16 у2 – 3х + 4 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 25, парабола.
5. 3х2 + 3у2 + 10 ху - 2х - 14у - 13 = 0.
Ответ. 1 = 8, 2 = -2, гипербола.
6. 7х2
+ 4
ху + 3у2 + х – у = 0.
Ответ. 1 = 1, 2 = 9, эллипс.
7. х2 – 4 ух + 4у2 – 4х – 3у – 7 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 5, парабола.
8. 2х2 + 4ху + 5у2 – 6х – 8у = 1.
Ответ. 1 = 1, 2 = 6, эллипс.
9. 5х2 + 12 ху – 22 х – 12 у – 19 = 0.
Ответ. Ответ. 1 = 9, 2 = -4, гипербола
10. х2 – 2ху + у2 – 10 х – 6у + 25 = 0.
Ответ. 1 = 0, 2 = 2, парабола.