1.2. Графические элементы в пространстве

Точка в пространстве имеет три степени свободы. Расстояние между двумя точками в разных системах координат вычисляется следующим об­разом:

□ в декартовой СК

□ в цилиндрической СК

□ в сферической СК

Поверхность имеет две степени свободы. Уравнения поверхности в неявной и па­раметрической формах имеют следующий вид:

Любая реальная поверхность ограничена в пространстве либо в силу своей замкнутости (например, сфера, эллипсоид или тор), либо благодаря системе не­равенств, наложенных на ее координаты или параметры

Особенность ограниченной поверхности в том, что при расчете ее пересечения с другим графическим объектом могут быть получены точки или линии, лежащие на поверхности, но не удовлетворяющие условиям неравенств. Следовательно, результат пересечения должен всегда тестироваться по всем необходимым услови­ям существования.

В регулярной точке поверхности функция не­прерывно дифференцируема по своим аргументам и обладает свойством

Точки поверхности, в которых частные производные

равны нулю или не существуют, называются особыми. Эти точки образуют ребра (линии самопересечения поверхности или пересечения двух поверхностей) и вер­шины (точки пересечения трех поверхностей), где производные не определены.

В регулярной точке поверхности р_о существует единственная касательная плос­кость , описываемая координатными и векторными уравнениями в неявной и параметрической формах:

Вектор нормали направлен в ту сторону поверхности, где f(p)> 0. Направляющие векторы

должны быть непарачлелъны. Они составляют с нормалью

правую тройку векторов

1.2.1. Модели плоскости в пространстве

1.2.1.1. Неявное уравнение плоскости

Неявное уравнение плоскости задается четырьмя коэффициентами А, В, С и D, составляющими вектор

Хотя бы одно из чисел А, В или С должно быть ненулевым. Если все коэффици­енты , то плоскость проходит наклонно ко всем осям коорди­нат, пересекаясь с ними в точках

А В " С

При уравнение By + Cz + D = 0 описывает плоскость, параллельную оси х и ортогональную координатной плоскости

при

уравнению Ах + D = 0 соответствует плоскость, ортого­нальная оси х и параллельная плоскости

Плоскость f(p)= р ° F = 0 проходит через начало координат при Благодаря ее свойству разделять пространство на два подпространства с противоположными знаками , неявное уравнение позволяет определить по принадлежность плоскости произвольной точки q, а также ори­ентацию двух точек относительно плоскости:

• при эти точки лежат по одну сторону от плоскости,

• при по разные стороны от плоскости.

За координаты вектора нормали можно принять коэффициенты неявного уравнения А, В и С:

1.2.1.2. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости заданной точкой р_о и вектором нормали N, имеет вид

С помощью функции

можно определить ориентацию точки р относительно плоскости:

при точка а лежит в том полупространстве, куда направлена нор­маль, а угол острый;

при угол тупой, а точка b и нормаль находятся по разные стороны от плоскости

Таким образом, плоскость является двусторонней границей, разделяющей про­странство R³ на положительное и отрицательное полупространства в соответст­вии со знаком функции . Назовем сторону плоскости, обращенную в поло­жительное полупространство, лицевой, а обратную сторону - нелицевой.