Различные виды матриц Матрица строка

М атрица, состоящая лишь из одной строки (типа ), называется строчной или матрицей-строкой.

Матрица-строка имеет вид .

М атрица столбец

Матрица , имеющая только один столбец (типа ), называется матрицей-столбцом.

В дальнейшем матрицу-строку или матрицу-столбец будем называть вектором.

П римеры.

Матрица есть матрица-строка.

Её тип . Иначе, это шестимерный вектор.

Матрица есть матрица-столбец.

Её размер . Иначе это пятимерный вектор.

Нулевая матрица

М атрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой или нуль матрицей.

Обозначается нулевая матрица буквой .

Тогда по определению .

Нулевая матрица не обязательно должна быть квадратной матрицей.

П римеры. Нижеприведенные матрицы являются нулевыми матрицами: .

Квадратная матрица

К вадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов , т.е. матрица вида

.

В этом случае число называют порядком квадратной матрицы.

К вадратная матрица 1-го порядка отождествляется со своим единственным элементом, например (17).

При этом следует обратить внимание на то, что она является иным математическим объектом, чем вещественное число 17, и поэтому должна изображаться числом, заключенным в скобки.

Выпишем квадратные матрицы первых трех порядков:

.

• Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов

,

составляют главную диагональ,

• а элементы квадратной матрицы порядка , сумма индексов каждого из которых равна , – побочную (или вторую) диагональ,

.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы.

С имметрическая матрица

Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. .

Н апример, симметрическими являются следующие матрицы

.

Диагональная матрица

К вадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и записывается так

.

Таким образом, в диагональной матрице все элементы с неравными индексами равны нулю.

Скалярная матрица

Д иагональная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны между собой, называется скалярной матрицей.

Скалярная матрица имеет вид

.

П римеры. 1) есть скалярная матрица.

2) есть диагональная матрица.

Единичная матрица

Д иагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой (или ):

.

Для краткой записи единичной матрицы можно использовать и

так называемый символ Кронекера

П ример. Единичной матрицей

порядка 2 является и порядка 3 ­‒ .

Треугольная матрица

К вадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной.

Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

.

Множество всех матриц часто обозначают .

Введенное обозначение требует дополнительных пояснений (для определенности ограничимся рассмотрением только матриц, элементами которых являются вещественные числа).

Множество вещественных чисел принято обозначать . Отсюда и символ .

С учетом этого обозначения матрицу можно записать так

.