Змістовий модуль 2. Основи теорії ймовірностей і математичної статистики Тема 6. Елементи теорії ймовірностей

6.1. Елементарними називають події, які:

1. є сумісними;

2. є несумісними;

3. є неможливими або достовірними;

4. утворюють повну групу подій;

5. утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій.

6.2. В урні є 7 чорних і декілька білих кульок. Ймовірність появи чорної кульки дорівнює . Яка кількість білих кульок в урні ?

1. 42;

2. 35;

3. 7;

4. 5.

6.3. В деяку лікарню поступають хворі з 4 видами захворювань, ймовірність яких відповідно дорівнює 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лікування першого і четвертого захворювань необхідно переливання крові. Яку кількість хворих необхідно забезпечити кров’ю із 1000 хворих, які поступають в лікарню протягом місяця.

1. 300;

2. 500;

3. 700;

4. 900.

6.4. За якою формулою визначається математичне сподівання неперервної випадкової величини?

6.5. Вкажіть, які з приведених співвідношень виражають нормальний закон розподілу:

6.6. Багаторічний досвід показує, що ймовірність виклику швидкої медичної допомоги в деякий мікрорайон складає 0,4. Знайти ймовірність того, що з п’яти викликів швидкої допомоги лікаря два будуть в даний мікрорайон.

1. 0,346;

2. 0,464;

3. 0,643;

4. 0,918.

6.7. Заданий закон розподілу випадкової величини

Х	1	2	3	4	5
Р	0,2	0,1	0,1	0,4	0,2

Знайти математичне сподівання.

1. 2,8;

2. 5,1;

3. 3,3;

4. 2,02.

6.8. Випадкова величина розподілена за стандартним законом розподілу (m = 0; s = 1). Знайти ймовірність того, що випадкова величина приймає значення на інтервалі (– 1; 1).

1. 0,19;

2. 0,41;

3. 0,95;

4. 0,68.

6.9. Випадкова подія – це:

1. подія, яка при заданому комплексі умов ніколи не відбудеться;

2. подія, яка при заданому комплексі умов може як відбутися, так і не відбутись;

3. подія, яка при заданому комплексі умов обов’язково відбудеться;

4. змінна величина, яка може приймати ті чи інші числові значення з певними ймовірностями, в залежності від випадкового збігу обставин.

6.10. Сумісними називають випадкові події, якщо:

1. вони утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій;

2. поява однієї із них в результаті випробовування виключає появу іншої в тому ж випробуванні;

3. поява однієї із них в результаті випробовування не виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні;

4. подія, яка при заданому комплексі умов обов’язково відбудеться.

6.11. Несумісними називають випадкові події, якщо:

1. вони утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій;

2. поява однієї із них в результаті випробовування виключає появу іншої в тому ж випробуванні;

3. поява однієї із них в результаті випробовування не виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні;

4. подія, яка при заданому комплексі умов обов’язково відбудеться.

6.12. Теорема множення ймовірностей незалежних подій:

1. Р(АВ)=Р(А)·Р(В);

2. Р(АВ)= Р(А)·Р(В/А);

3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В);

4. Р(В/А)= .

6.13. Теорема множення ймовірностей залежних подій:

1. Р(АВ)=Р(А)·Р(В);

2. Р(АВ)= Р(А)·Р(В/А);

3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В);

4. Р(В/А)= .

6.14. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій:

1. Р(АВ)=Р(А)·Р(В);

2. Р(АВ)= Р(А)·Р(В/А);

3. Р(А+В)=Р(А)+Р(В);

4. Р(В/А)= .

6.15. Випадкова величина – це:

1. величина, яка приймає окремі можливі значення з певними ймовірностями;

2. величина, яка приймає довільні значення і з деякого скінченного або нескінченного інтервалу;

3. величина, значення якої можна пронумерувати;

4. змінна величина, яка може приймати ті чи інші числові значення з певними ймовірностями, в залежності від випадкового збігу обставин.

6.16. Дискретна випадкова величина:

1. величина, яка приймає окремі можливі значення з певними ймовірностями;

2. величина, яка приймає довільні значення і з деякого скінченого або нескінченного інтервалу;

3. величина, яка може приймати в залежності від випадкового збігу обставин ті чи інші числові значення з певними ймовірностями;

4. величина, значення якої не можна пронумерувати.

6.17. Неперервна випадкова величина:

1. величина, яка приймає окремі можливі значення з певними ймовірностями;

2. величина, яка приймає довільні значення і з деякого скінченого або нескінченного інтервалу;

3. величина, яка може приймати в залежності від випадкового збігу обставин ті чи інші числові значення з певними ймовірностями;

4. величина, значення якої можна пронумерувати.

6.18. Правило “3σ” формулюється:

1. неперервна випадкова величина Х, яка розподілена за нормальним законом з ймовірністю Р = 0,997 приймає значення в інтервалі ;

2. дискретна випадкова величина Х, яка розподілена за нормальним законом з ймовірністю Р = 0,997 приймає значення в інтервалі ;

3. значення дискретної випадкової величини Х, яка розподілена за нормальним законом з ймовірністю Р = 0,997 не виходять за інтервал .

6.19. Умовна ймовірність визначається за формулою:

1. ;

2. ;

3. ;

4. = ;

5. _.

6.20. Теорія ймовірностей – це наука, яка вивчає:

1. властивості масових випадкових подій, які можуть багаторазово повторюватись при виконанні певного комплексу умов;

2. методи опису і аналізу експериментальних даних, отриманих в результаті вивчення масових випадкових явищ;

3. механічні властивості живих тканин, органів і організму в цілому, а також механічні явища, що відбуваються в них у процесі життєдіяльності;

4. процеси плину біологічних рідин, деформації клітин, тканин і органів.

6.21. Інтегральна теорема Муавра – Лапласа записується як:

1. ;

2. ;

3. де , , ;

4. , де , .

6.22. Випробуванням називають:

1. здійснення деякого комплексу умов, який може бути повтореним як завгодно велике число разів;

2. явище, яке відбувається при наявності певного комплексу умов;

3. подія, яка при заданому комплексі умов ніколи не відбудеться;

4. подія, яка обов’язково відбудеться при наявності певного комплексу умов.

6.23. Подією називається:

1. результат здійснення деякого комплексу умов, який може бути повтореним як завгодно велике число разів;

2. явище, яке відбувається при наявності певного комплексу умов;

3. подія, яка при заданому комплексі умов ніколи не відбудеться;

4. подія, яка обов’язково відбудеться при наявності певного комплексу умов.

6.24. Достовірна подія це:

1. подія, в якій здійснюється виконання деякого комплексу умов, який може бути повтореним як завгодно велике число разів;

2. подія, яка відбувається при наявності певного комплексу умов;

3. подія, яка при заданому комплексі умов ніколи не відбудеться;

4. подія, яка обов’язково відбудеться при наявності певного комплексу умов.

6.25. Неможлива подія це:

1. подія, в якій здійснюється виконання деякого комплексу умов, який може бути повтореним як завгодно велике число разів;

2. подія, яка відбувається при наявності певного комплексу умов;

3. подія, яка при заданому комплексі умов ніколи не відбудеться;

4. подія, яка обов’язково відбудеться при наявності певного комплексу умов.

6.26. Класичне означення ймовірності випадкової події:

1. ймовірністю Р(А) події А називають відношення числа елементарних подій, за яких подія А відбувається, до числа всіх можливих елементарних подій;

2. ймовірністю називають відношення , якщо в n випробуваннях, проведених при рівних умовах, подія А мала місце m разів;

3. границя, до якої прямує відносна частота появи події при необмеженому збільшені кількості випробувань;

4. ймовірність практично дорівнює частоті появи події при великій кількості випробувань проведених при однакових умовах.

6.27. Відносна частота появи події це:

1. ймовірністю Р(А) події А називають відношення числа елементарних подій, за яких подія А відбувається, до числа всіх можливих елементарних подій;

2. відношення , якщо в n випробуваннях, проведених при рівних умовах, подія А мала місце m разів;

3. границя, до якої прямує частота появи події при необмеженому збільшені кількості випробувань;

4. ймовірність появи події при великій кількості випробувань проведених при однакових умовах.

6.28. Статистичне означення ймовірності випадкової події:

1. ймовірністю Р(А) події А називають відношення числа елементарних подій, за яких подія А відбувається, до числа всіх можливих елементарних подій;

2. це відношення , якщо в n випробуваннях, проведених при рівних умовах, подія А мала місце m разів;

3. границя, до якої прямує відносна частота появи події при необмеженому збільшені кількості випробувань;

4. ймовірність практично дорівнює частоті появи подій при великій кількості випробувань проведених при однакових умовах.

6.29. За якою формулою визначається дисперсія дискретної випадкової величини?

6.30. За якою формулою визначається середнє квадратичне відхилення випадкової величини?

6.32. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

6.33. Вкажіть, які з поданих співвідношень виражають розподіл Бернуллі:

1. ;

2. ;

3. де , , ;

4. , де , .

6.34. Вкажіть, які з поданих співвідношень виражають розподіл Пуассона?

1. ;

2. ;

3. де ;

4. , де .

6.35. Вкажіть, які з поданих співвідношень виражають локальну теорему Муавра – Лапласа?

1. ;

2. ;

3. де ;

4. , де .

_{6.36. Подія В називається залежною від події А, якщо}

1. ймовірність події В залежить від того, відбулась чи ні подія А;

2. ймовірність появи події В не залежить від того відбулась чи не відбулась подія А;

3. поява однієї із них в результаті випробовування виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні;

4. поява однієї із них в результаті випробовування не виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні.

6.37. Ймовірність появи хоча б однієї події А із сукупності незалежних подій А₁, А₂, …, А_n визначається за формулою:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

6.38. На основі умови нормування:

6.39. Дві події називають протилежними, якщо:

1. вони несумісні і утворюють повну групу;

2. поява однієї із них в результаті випробовування виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні;

3. вони утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій;

4. поява однієї із них в результаті випробовування не виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні.

6.40. Дві події А і В називаються незалежними, якщо

1. ймовірність появи події А не залежить від того відбулась чи не відбулась подія В;

2. вони утворюють повну групу попарно несумісних і рівноможливих подій;

3. поява однієї із них в результаті випробовування виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні;

4. поява однієї із них в результаті випробовування не виключає повністю появу іншої в тому ж випробуванні.

6.41. У відділенні три операційні. Для кожної з них ймовірність бути зайнятою (не бути вільною) в даний момент часу . Яка ймовірність, що хоча б одна операційна вільна в даний момент?

1. 0,973;

2. 0,937;

3. 0,739;

4. 0,397.

6.42. Формула повної ймовірності записується у такому вигляді:

1. ;

2. ;

3. ;

4. = ;

5. _.

6.43. Переоцінка ймовірності гіпотез за умови, що подія А відбулась, проводиться за формулою Байєса:

1. _;

2. _;

6.44. З врахуванням формули повної ймовірності співвідношення Байєса набуває вигляду:

1. _;

2. _;

6.45. Сума ймовірностей гіпотез В₁, В₂, …, В_n, як повної групи подій, повинна дорівнювати

1. 1;

2. _0;

3. -1.

6.46. За якою формулою визначається дисперсія неперервної випадкової величини?

6.47. За якою формулою визначається математичне сподівання дискретної випадкової величини?

4. .

6.48. Умова нормування для дискретної випадкової величини:

6.49. Умова нормування для неперервної випадкової величини:

6.50. Модою М₀(Х) дискретної випадкової величини Х називають:

1. таке значення x_m випадкової величини, що попереднє і наступне за ним значення мають ймовірності, менші від Р(x_m);

2. таке значення x_m випадкової величини, що попереднє і наступне за ним значення мають ймовірності, більші від Р(x_m);

3. таке значення x_m випадкової величини, що попереднє і наступне за ним значення мають ймовірності рівні нулю;

4. таке значення x_m випадкової величини, що попереднє і наступне за ним значення мають ймовірності рівні одиниці.