5.2 Спосіб обертання

О бертання – це один із способів перетворення проекцій, суть якого пояснимо на прикладі обертання найпростішого геометричного елемента – точки. Нехай у просторі задано пряму l і точку А поза прямою (рис.5.5). Щоб повернути точку А навколо прямої l на епюрі треба визначити такі елементи обертання:

1. вісь обертання. У даному випадку це пряма l;

2. площину обертання. Це - площина Σ, яка перпендикулярна до осі обертання і проходить через об’єкт обертання ─ точку А;

3. центр обертання - О. Це - точка перетину площини обертання з віссю обертання;

4. р

   Рисунок 5.5

   адіус обертання R – відстань від точки А до центру обертання.

Всі ці елементи на епюрі мають бути визначені і тоді можна вважати, що задача майже розв’язана. Залишається виконати обертання, тобто повернути точку А на потрібний кут.

Отже, суть способу обертання полягає у тому, що геометричним фігурам, які проеціюються обертанням навколо відповідних осей обертання, надають певного положення відносно даної системи площин проекцій, яка лишається незмінною. А певні положення фігур, як відомо, не тільки значно спрощують розв’язування задач, а й часто дають змогу дістати відповідь безпосередньо з даного рисунка або за допомогою найпростіших побудов.

У деяких випадках вісь обертання задається в умові задачі. Якщо в конкретних прикладах є можливість вибрати положення осі, то її доцільно розміщувати перпендикулярно до однієї з площин проекцій, що спрощує побудову. На рисунку 5.6 бачимо, що площина обертання є паралельною до тієї площини проекцій, до якої вісь обертання - перпендикулярна. Завдяки цьому коло, що описує точка А при обертанні в площині обертання, буде проеціюватися на одну з площин проекцій у коло, а на дві інші – у відрізок, що дорівнює діаметру кола і лежить на слідах площин обертання (рис.5.6).

Рисунок 5.6

На перетині площини обертання Σ і осі обертання l дістаємо точку О – центр обертання. Радіус обертання R дорівнює відстані між точками А і О. Побудова епюра зводиться до проведення на площині ₁ кола радіусом R=R₁ з центра О₁ і на площині ₂ відрізка прямої довжиною 2R, який збігається зі слідом Σ₂, паралельним до Х.

Задача 1. Обертанням навколо довільно вибраної осі l, перпендикулярної до площини П₁, визначити дійсну величину відрізка АВ (рис.5.7).

Відомо, що пряма, паралельна до площини проекцій, проеціюється на цю площину в дійсну величину. Отже, повернувши відрізок АВ у положення, паралельне до площини ₂, дістанемо нову фронтальну проекцію відрізка А₂В′₂, яка буде його дійсною величиною. Для цього позначаємо необхідні елементи обертання для точки В, виходячи з того, що вісь обертання проходить через точку А і перпендикулярна до ₁. Нове положення точки В′₁ знайдемо за правилами, описаними вище. Нагадаємо, що А₁В′₁=А₁В₁. Проведемо лінію проекційного зв’язку з точки В′₁ до перетину з Σ₂ і знайдемо точку В′₂, яку сполучимо з точкою А₂. Фронтальна проекція А₂В′₂ відрізка АВ після обертання є його дійсною величиною, тобто А₂В′₂=АВ.

Р озглянуті побудови на обертання точки і прямої є підставою для виконання обертання плоскої фігури, виходячи з того, що плоскі фігури задаються точками або прямими.

Рисунок 5.7

Зазначимо, що способом обертання доцільно користуватися для визначення дійсної величини плоскої фігури. У цьому легко переконатися з рисунку 5.8, на якому дійсну величину фронтально-проекційного трикутника АВС знайдено цим способом.

Д ля цього, враховуючи, що вершина трикутника, точка А, лежить у площині ₁, вибираємо вісь обертання l, щоб вона прходила через точку А перпендикулярно до площини ₂. При обертанні трикутника АВС точка А залишається на місці, а точки В і С, обертаючись у площинах, перпендикулярних до l, займуть нове положення В′₁ і С′₁, тобто сумістяться з площиною ₁. Таким чином, після обертання всі три точки А, В, С – вершини трикутника будуть лежати в площині ₁, а отже А₁В′₁С′₁ – дійсна величина трикутника АВС.

Рисунок 5.8

Часто задача розв’язується простіше, якщо площина загального положення займе особливе положення.

Задача 2. Повернути довільну площину  до положення фронтально-проекційної площини (рис.5.9).

В

Рисунок 5.9

ідомо, що фронтально-проекційна площина має горизонтальний слід, перпендикулярний до осі проекцій ОХ. Щоб досягти такого положення сліду ₁, вибираємо вісь обертання l так, щоб вона була перпендикулярною до площини проекцій ₁ і лежала у площині ₂. Тому вона перетинає слід ₂ в точці А, яка залишається нерухомою і належить новому фронтальному сліду ₂ площини . У даному випадку можливі два розв’язки: поворот за годинниковою стрілкою і проти.

Розглянуті вище положення і задачі стосуються найпростішого випадку обертання навколо осей, перпендикулярних до будь-якої з площин проекцій. Порівняно складніше обертання навколо осей, паралельних до однієї із площин проекцій, тобто навколо лінії особливого положення – горизонталі або фронталі, або навколо одного із слідів площини, що є нульовою горизонталлю або фронталлю.

Обертання навколо прямої рівня. Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли плоску фігуру, відрізок прямої або плоску криву потрібно сумістити з площиною, яка паралельна одній з площин проекцій. Тоді плоска фігура, крива або відрізок прямої будуть проеціюватися на відповідну площину проекцій без спотворення.

Задача 3. Знайти дійсну величину трикутника АВС навколо горизонталі (рис.5.10).

Горизонталь, яка служить віссю обертання, проведена через вершину трикутника А, тому остання під час обертання залишається нерухомою. Другою нерухомою точкою площини трикутника АВС буде точка 1 - перетин горизонталі з стороною ВС трикутника.

Зрозуміло, що побудова нового положення площини при обертанні її навколо горизонталі або фронталі зводиться, як і в інших випадках, до обертання окремих точок або прямих, що лежать у даній площині.

На рисунку 5.10б, в будуємо нове положення точки С - С₀, повернувши точку С навколо прямої h, де  - площина обертання, яка проходить через точку С перпендикулярно до осі обертання, R_об - дійсна величина радіуса обертання. Нове положення точки В – В₀ знаходимо на перетині площини обертання  з напрямком сторони трикутника С₀1₁ (рис.5.10г). Трикутник АВ₀С₀ –дійсна величина трикутника АВС.

а)

б)

Рисунок 5.10

г)

в)