3.3 Cліди прямої

Точка перетину прямої з відповідною площиною проекцій називається слідом прямої. Пряма загального положення в системі трьох площин проекцій має три сліди.

При перетині прямої (рис. 3.4):

- з горизонтальною площиною проекцій одержуємо горизонтальний слід – М (М₁, М₂, М₃);

• з фронтальною площиною проекцій одержуємо фронтальний слід – N (N₁, N₂, N₃);

• з профільною площиною проекцій одержуємо профільний слід – P(P₁, P₂, P₃).

Рисунок 3.4 – Побудова трьох слідів прямої

Прямі, які паралельні до однієї з площин проекцій, мають два сліди ─ сліду немає на площині, до якої пряма паралельна (рис.3.5а).

Прямі, перпендикулярні до однієї з площин проекцій, мають тільки один слід ─ до двох інших площин така пряма паралельна, тому перетин з ними відсутній (рис. 3.5б).

а)

б)

Рисунок 3.5 – Побудова слідів прямих особливого положення

Слід – це точка, яка лежить на прямій і в той же час, належить площині проекцій. Тобто це точка, одна координата якої дорівнює нулю. Для фронтального сліду N , Y_N = 0, для горизонтального сліду М ─ Z_M = 0, а для профільного сліду Р ─ Х_Р = 0.

За положеннями слідів прямої на епюрі можна робити висновок про те, через які просторові кути проходить пряма і яке положення вона займає в просторі.

З адача. Побудувати сліди прямої l в системі двох площин проекцій і вказати, через які чверті простору проходить пряма (рис.3.6).

Щ

Рисунок 3.6

об побудувати горизонтальний слід М прямої l, треба продовжити фронтальну проекцію прямої l₂ до перетину з віссю ОХ, що дасть точку М₂ – фронтальну проекцію горизонтального сліду. Через точку М₂ проводимо вертикальну лінію проекційного зв’язку до перетину з горизонтальною проекцією прямої – l₁ і одержимо точку М₁, що збігається з горизонтальним слідом М.

Щоб знайти фронтальний слід N прямої l, треба продовжити горизонтальну проекцію прямої l₁, до перетину з віссю ОХ, одержимо точку N₁ – горизонтальну проекцію фронтального сліду. Через знайдену точку N₁ проводимо вертикальну лінію проекційного зв’язку до перетину з фронтальною проекцією прямої – l₂ і одержимо точку N₂, що збігається з фронтальним слідом N.

3.4 Побудова дійсної величини відрізка прямої способом прямокутного трикутника

Жодна проекція відрізка прямої довільного положення не дорівнює його дійсній величині, тобто проекції такого відрізка будуть завжди менші, ніж відрізок у просторі. У багатьох випадках інженерної діяльності виникає необхідність визначити дійсну величину відрізка довільного положення, маючи на епюрі лише його проекції.

Таку задачу можна розв’язати графічною побудовою на епюрі за допомогою правила прямокутного трикутника.

АВ – дійсна величина відрізка в просторі А₀В₁ – Дійсна величина відрізка на епюрі

Рисунок 3.7 – Побудова дійсної величини відрізка

Дійсна величина відрізка прямої загального положення є гіпотенузою прямокутного трикутника, який побудований на одній із проекцій, як на катеті. Другим катетом цього трикутника буде різниця відстаней кінців відрізка до тієї із площин проекцій, на якій взято перший катет. Кут між гіпотенузою і катетом визначає кут нахилу відрізка до площини проекцій (рис. 3.7, 3.8): α – до горизонтальної, β – до фронтальної і γ – до профільної.

Використовуючи правило прямокутного трикутника (на кожній із площин проекцій), знаходимо дійсну величину відрізка АВ (А₂В₀=В₁А₀=В₃А₀) і, відповідно, кути нахилу відрізка до горизонтальної, фронтальної та профільної площин проекцій - ,, (рис.3.8б).

а)

б)

Рисунок 3.8 – Побудова дійсної величини відрізка на трьох площинах проекцій

Може трапитися так, що координати, які визначають відстані кінців відрізка до площини проекцій, мають різні знаки. Тоді слід приймати алгебраїчну різницю координат для побудови другого катета прямокутного трикутника.

З

Рисунок 3.9— Побудова дійсної величини відрізка на трьох площинах проекцій

адача 2. Знайти дійсну довжину ділянки трубопроводу АВ і визначити кути нахилу її до площин проекцій (рис. 3.9). За заданими координатами будуємо проекції точок А і В, і, використовуючи спосіб прямокутного трикутника (на кожній із площин проекцій), знаходимо дійсну величину АВ і, відповідно, кути α, β, γ.

Z=Z_B-(-Z_A)=Z_B+Z_A Y=Y_A-Y_B X=X_A-X_B

У багатьох випадках інженерної діяльності використовується правило прямокутного трикутника для знаходження розв’язку тієї чи іншої інженерної задачі.

Задача 3. На заданому промені побудувати проекції відрізка АВ, довжина якого дорівнює 50 мм.

На рисунку 3.10а ─ подано графічну умову задачі. З рисунку видно, що промінь є прямою загального положення, а отже, необхідно здійснити додаткові побудови ─ відкласти 50 мм на одній із проекцій променя не маємо права. Обмежимо промінь в будь-якій точці К (рис. 3.10б), знайдемо дійсну величину АК – за правилом прямокутного трикутника і на дійсній величині АК₀ відкладемо 50 мм. За правилом прямокутного трикутника вернемося на проекції променя, одержавши точку В (В₁ і В₂), АВ (А₂В₂; А₁В₁) – шуканий відрізок.

а)

б)

Рисунок 3.10

Задача 4: Знайти положення точки В – кінця ділянки нафтопроводу АВ, якщо відомо, що довжина ділянки становить 50 м, а кут нахилу до горизонтальної площини 30º (М1:1000).

Для розв’язку задачі скористаємося даними умови задачі і правилом прямокутного трикутника. На горизонтальній проекції від променя, який виходить з А₁ під кутом  відкладемо напрямок гіпотенузи (рис.3.11б), яку обмежимо в точці В₀, що відповідає дійсній довжині ділянки. З В₀ виставимо перпендикуляр до проекції променя, знайдемо В₁. В₁В₀ – катет Z прямокутного трикутника, що за правилом відповідає перевищенню точки В над точкою А. Знайдемо В₂. Точка В (В₂; В₁) – є шуканим кінцем ділянки нафтопроводу.

а)

б)

Рисунок 3.11