Монотонные функции.

Пусть (a,b) промежуток с концами в точках a и b, где a<b.

Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a,b), если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и .

Тогда функция возрастает на промежутке X, если (запись на (a,b)) и убывает, если (запись на (a,b)) (см. рис. 1).

Запись

и

Функции возрастающие и убывающие называется монотонными. К монотонным функциям относятся также неубывающие и невозрастающие функции.

Рис.1

Рис. 2.

Ограниченные функции.

Функция называется ограниченной на промежутке (a,b), если такое, что

.

В противном случае функция называется неограниченной.

Пример. ограниченна, так как

.

Периодическая функция.

Функция называется периодической с периодом , если справедливо .

Пример. периодическая с периодом , так как .

3. Предел числовой последовательности.

Числовой последовательностью называется отображение .

При этом а вместо принимают обозначение или просто

Пусть дана числовая последовательность

Будем говорить, что последовательность сходится к числу при стремящемся к если

.

Если сходится к _, то говорят, также, что последовательность имеет предел при обозначают

Пример. Доказать

Для произвольное справедливо

. По следствию принципа Архимеда

Теорема. (Об единственности предела). Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Ограниченные последовательности.

Последовательность называется ограниченной сверху,

если число

Последовательность называется ограниченной снизу,

если число

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.

Примеры. ограничена снизу любым числом , но не ограничена сверху, ограничена сверху любым числом , но не ограничена снизу. ограничена снизу сверху

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Арифметические действия над сходящимися последовательностями.

Пусть даны последовательности и

Последовательность называется суммой последовательностей и Обозначается

Последовательность называется произведением последовательностей и Обозначается

Пусть Последовательность называется частным последовательностей и Обозначается

Теорема. Пусть и Тогда

a)

b)

c) Если и то

Пример.

При было доказано. Если то и

Монотонные последовательности

Последовательность является неубывающей (возрастающей), если для

Последовательность является невозрастающей (убывающей), если для

_{Последовательность} называется монотонной, если она является одной из выше перечисленной.

Обозначим .

Теорема. a) Всякая возрастающая последовательность имеет конечный предел, равный точно верхней грани последовательности, т.е. справедливо:

b) Всякая убывающая последовательность имеет конечный предел, равный точно нижней грани последовательности, т.е. справедливо:

Следствие. Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

или сходится ограничено.

Пример. Доказать

Покажем, что последовательность убывающая.

Пусть

_{Используя неравенство Бернулли}

_{находим, что}

Поскольку члены последовательности положительны, существует предел . Но тогда

.

Итак,