2. Производная сложной и обратной функции.

1. Производная сложной функции равна произведению производных от функций, составляющих данную функцию.

, - дифференцируемые функции. Тогда

.

2. Производная обратной функции. Пусть нам дана дифференцируемая функция y= f(x). Если y рассматривать как аргумент, а x- функцию, то новая функция называется обратной по отношению к y. Зная производную функции y= f(x) , можно найти производную обратной функции , предполагая, что обратная функция существует и непрерывна.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной 0, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции .

6. Таблица производных.

№	Функция y	Производная
1		0
2		1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Примеры: Найти производную функций:

а)

Воспользуемся формулами а также свойством производной, что постоянный множитель можно выносить за знак производной.

.

б)

Это сложная степенная функция. Обозначим , тогда . Воспользуемся производной сложной функции.

3. Производные высших порядков.

Производная у′ =f ′(x) называется производной первого порядка. Если f ′(x) дифференцируема, то ее производная обозначается символом у″ =f ″(x) и называется производной второго порядка.

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка.

Если , то вторая производная обозначается

.

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1) порядка.

4. Дифференциал функции.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема при некотором значении х. Следовательно, в точке х существует конечная производная По определению предела имеем

Отсюда находим .

y′ от не зависит, она остается постоянной при

Если то - является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и . - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем первое слагаемое. Поэтому величину ( ) называют главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет это выражение. Поэтому при малых значениях приращение функции можно заменить , т.е.

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом функции в точке х и обозначают dy или df(x), следовательно, или

Дифференциал равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.

Если f(x)=x, тогда dx=x′ = , т.е. .

Окончательно можно записать:

Из изложенного выше следует, что , т.е. приращение функции отличается от дифференциала на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем . Поэтому при достаточно малых значениях имеем , т.е. , откуда получаем формулу:

.

Чем меньше значение , тем точнее эта формула, и ее можно использовать для приближенных вычислений.

Пример. Вычислить

Решение: ,

где

Найдем , . Тогда имеем: