Вычисления и представление результатов

Задание 1.

Построить интервальный вариационный ряд; полигон и гистограмму (на одном рисунке); кумуляту (на другом рисунке).

Построим интервальный вариационный ряд. Для этого мы определим оптимальное количество интервалов и величину интервала, по следующим формулам соответственно: N=1+3.322ln n , Δ =

В нашем случае, n=100, N = 7, x_max=25.26, x_min=0.97. Отсюда получаем Δ=3,47

Интревал	Частота	Середина интервала	Накопленные частности	Накопленная частота
0,97-4,44	2	2,705	0,02	2
4,44-7,91	6	6,175	0,08	8
7,91-11,38	15	9,645	0,23	23
11,38-14,85	44	13,115	0,67	67
14,85-18,32	18	16,585	0,85	85
18,32-21,79	13	20,055	0,98	98
21,79-25,26	2	23,525	1	100

На основании этих данных мы может построить полигон и гистограмму на одном рисунке, как требуется в задании и кумуляту на другом.

Задание 2.

Вычислить выборочные характеристики: среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиану.

Для вычисления выборочных характеристик воспользуемся программой «Описательная статистика», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel.

В первой таблице приведены результаты работы программы «описательная статистика».

объемы продаж
Среднее	13,8369
Стандартная ошибка	0,411908534
Медиана	13,66
Мода	13,53
Стандартное отклонение	4,119085339
Дисперсия выборки	16,96686403
Эксцесс	0,847761051
Асимметричность	-0,100712142
Интервал	24,29
Минимум	0,97
Максимум	25,26
Сумма	1383,69
Счет	100

В данной таблице представлены исправленные величины, в нижестоящей таблице будут подсчитаны только выборочные величины в соответствие с заданием.

выборочная дисперсия	16,7972
выб. Дисп. С учетом поправки Шеппарда	15,79379
выборочное средне квадратичное отклонение	4,098438
выборочное средне квадратичное отклонение с учетом поправки	3,97414
исправленная выборочная асимметрия	-0,0992
исправленный выборочный эксцесс	0,746556
выборочный коэффициент вариации	29,77%

Значения некоторых характеристик могут изменяться при переходе от несгруппированных данных к сгруппированным (интервальному вариационному ряду). Такими величинами являются, в т.ч., выборочная медиана и выборочная мода . Программа «Описательная статистика» вычисляет все характеристики по несгруппированным данным. Между тем, указанные две характеристики несут в себе гораздо больше смысла, если их вычислять по интервальному вариационному ряду при помощи следующих формул:

• , где - начало медианного интервала, т.е. такого интервала группирования , что , а . В нашем случае x_med = 11.38 + 3.47*(50-23)/44 = 13.51

• , где - начало модального интервала, т.е. такого интервала группирования , что ; в нашем случае x_mod = 11.38+3.47*(44-15)/((44-15)+(44-18)) = 13.21

Итак, все требуемые выборочные характеристики получены.

Задание 3

Заменив параметры нормального закона распределения их выбо­рочными характеристиками, скорректированными на поправку Шеппарда, рассчитать и построить графики функции плотности и функции распреде­ления нормального закона, «наложив» эти графики соответственно на полигон и кумуляту.

Заменим параметры нормального закона и их выборочными оценками:

a= = 13,8369 и σ= = 3,97414, рассчитаем значения функции плотности нормального закона:

в серединах интервалов [воспользовавшись функцией Microsoft Excel НОРМРАСП(<x>;<a>;< >;ЛОЖЬ)] и функции распределения НОРМРАСП(<x>;<a>;< >;ИСТИНА) в правых концах интервалов. Результаты расчетов представлены ниже:

fN(x)	FN(x)
0,0020	0,0025
0,0157	0,0269
0,0576	0,1458
0,0987	0,4279
0,0790	0,7554
0,0295	0,9412
0,0051	0,9926

На основе этих данных мы может построить графики:

Задание 4.

На 5%-ном уровне значимости проверить гипотезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.

Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения воспользуемся критерием . Вычислим значения интервальных частот для нормального закона

предварительно приняв и . Объединим те интервалы, в которых (в данном случае необходимо объединить первый интервал со вторым и третьим, а восьмой – с девятым), при этом соответствующие выборочные интервальные частоты (и теоретические частоты ) складываются. Затем в каждом из интервалов (с учетом объединения) вычислим значение величины

и просуммируем эти значения по интервалам – получим выборочное (наблюдаемое) числовое значение статистики

Это значение равно 23,9335.

		npj	m	(npj-m)2/npj
Pj	npj	после объединения
0,0025	0,2547	14,5760	23	4,8686
0,0244	2,4385
0,1188	11,8828
0,2822	28,2169	28,2169	44	8,8282
0,3274	32,7444	32,7444	18	6,6392
0,1858	18,5793	18,5793	13	1,6755
0,0514	5,1445	5,1445	2	1,9220
			sum	23,9335

Здесь - число интервалов после их объединения (в данном случае v^*=5 ), - число параметров нормального закона распределения, точные значения которых неизвестны (в данном случае нам неизвестны точные значения обоих параметров нормального закона распределения и , поэтому ).

Значение статистики сравним с критической точкой , где - уровень значимости (по условию задачи ). Критическая точка χ²_α;v-l-1= χ²_0.05;2= 5.9915(это значение получено с помощью функции Microsoft Excel ХИ2ОБР(< >;< >)). Наблюдаемое значение статистики оказалось больше критической точки, поэтому есть основания отвергнуть гипотезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.

Задание 5

Предположив нормальность распределения объема продаж, по­строить 95%-ные интервальные оценки математического ожидания, дис­персии и среднего квадратичного отклонения.

В предположении нормальности закона распределения объема продаж интервальная оценка математического ожидания объема продаж задается формулой

При критическая точка (для расчета критической точки в Microsoft Excel можно воспользоваться функцией ), и поскольку =13,8369, S_x =4,1191

, 95%-ная интервальная оценка МХ принимает вид

13.8369-1.98* <MX<13.8369+1.98* или 13.0196<MX<14.6542

Интервальная оценка дисперсии задается формулой

,

в которой интерпретируется как случайная величина.

При критические точки равны и , и поскольку S_x² = 16.9668, 95%-ная интервальная оценка DX принимает вид

<DX< или 13.0799<DX<22.8969

Отсюда можно найти и 95%-ную интервальную оценку среднего квадратичного отклонения:

<σ_x< или 3.6166< σ_x<4.785

Задание 6

Предположив нормальность распределения объема продаж, на 5%-ном уровне значимости проверить следующие гипотезы:

а) при альтернативной гипотезе (здесь [s] — целая часть числа s); рассчитать вероятность ошибки второго рода, задавшись альтернативным числовым значением M(X);

б) при альтернативной гипотезе ; рассчитать вероятность ошибки второго рода, задавшись альтернативным числовым значением D(X).

А) В предположении нормальности распределения объема продаж проверим на 5%-ном уровне значимости справедливость гипотезы H₀ : M (X) =13 при альтернативной гипотезе H₁ : M (X) ≠ 13

Наблюдаемое числовое значение статистики

равно

=2.0917

При значение критической точки . Поскольку 2.0917>1.98, то проверяемую гипотезу отвергается.

Пусть альтернативное значение математического ожидания равно a₁ = 14 тогда вероятность ошибки второго рода равна

P - P = 1- 1,31504E-05 - 0,32767= 0,672313

Б) Проверим теперь справедливость гипотезы H₀ : DX = b₀= + 1=17 при альтернативной гипотезе H₁ : DX ≠17

Наблюдаемое числовое значение статистики

равно

=98.807

При значения критических точек таковы: . Поскольку значение статистики не попадает в критическую область, проверяемую гипотезу принимаем.

Пусть альтернативное значение дисперсии равно b₁ = 18 тогда вероятность ошибки второго рода равна:

=0.9898-0.0636=0.9262